Zagadnienia z mechaniki płYNÓW



Pobieranie 2.65 Mb.
Strona18/24
Data25.10.2017
Rozmiar2.65 Mb.
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   24
równania Eulera .Opisują one wyłącznie ruch płynu nie lepkiego, ponieważ przy ich wyprowadzaniu nie uwzględniliśmy tarcia wewnętrznego .

Natomiast równania te odnoszą się zarówno do płynów nieściśliwych (tzn. cieczy), jak i do gazów , a różnica polega na traktowaniu gęstości bądź jako wielkości stałej ,bądź te§ jako funkcji położenia i czasu. Przytoczone równania stanowią więc teoretyczną podstawę zarówno hydro- jak i aerodynamiki. W trzech równaniach Eulera występują cztery niewiadome :vţ, vy ,vz,p., gdy płynem jest ciecz lub gaz przy umiarkowanych zmianach ciśnienia.
Równania Naviera - Stokesa.

Zasadniczą przyczyną wspomnianych mankamentów teorii Eulera jest pomijanie lepkości , jako

nieodłącznej cechy każdego płynu rzeczywistego . Stwierdziliśmy tam, że podczas ruchu płynu

lepkiego powstają naprężenia styczne ,których wartość można określić za pomocą niutonowskiego prawa tarcia . Mówiąc dokładniej na element płynu lepkiego w ruchu , oprócz sił objętościowych

działają siły powierzchniowe , które mają składową normalną i styczną. Głębsza analiza zagadnienia wykazuje ,że wpływ lepkości przejawia się nie tylko w powstawaniu naprężeń stycznych, ale również w zmianie wartości ciśnienia w porównaniu z jego wartością w płynie idealnym. Komplikuje to znacznie postać różniczkowych równań ruchu płynu lepkiego w stosunku do równań Eulera .

Przejdźmy do wyprowadzenie różniczkowych równań przepływu lepkiego przestrzennego. W związku tensora naprężeń  .Ponieważ każdy z tych tensorów ma sześć składowych , więc ogólnie biorąc, związki między nimi wymagałyby wprowadzenie 36 współczynników proporcjonalności.

Liczbę ich można jednak zredukować do jednego, jeżeli przejmie się trzy dodatkowe postulały:

1' – Płyn jest ośrodkiem izotropowym (tzn. wszystkie kierunki w przestrzeni są równoprawne).

2' -Związek między tensorami  i  nie zależy od przestrzennej orientacji

układu współrzędnych.

3' -Związek ten w przypadku stycznym (v=0), jak również w przepływie idealnym musi się sprowadzać do postaci  =-pl.

Wszystkie te postulaty, łącznie z podstawowym postulatem Newtona o proporcjonalności naprężeń stycznych do prędkości odkształceń, spełnia następujący związek (tensorowy)




Jak widać, jedynym współczynnikiem proporcjonalności (o charakterze empirycznym) pozostała lepkość dynamiczna .



W przypadku płynu nieściśliwego (div v=0) mamy znacznie prostszy związek którym będziemy się dalej posługiwać:

Określenie siły powierzchniowej, która występuje w równaniu hydrodynamiki, wymaga obliczenia diwergencji tensora . Jak wiemy div(pl)=graf p. pozostaje do obliczenia div . Otóż





Wykorzystując wzór na prędkość odkształceń kontynuujemy obliczenia:





A
zatem

Wnioskujemy stąd, że aby otrzymać równanie dynamiki dla cieczy newtonowskiej, wystarcz do prawej strony równania Eulera dodać człon zawierający laplasjan wektora prędkości. W ten sposób otrzymamy:



Gdzie: v=/ - lepkość kinematyczna. Jest to równanie Naiviera – Stokesa, zapisane w postaci wektorowej. Wraz z równaniem ciągłości div v=0 tworzy ono podstawowy układ dynamiki płynów newtonowskich, nie ściśliwych. Przy rozwiązaniu tych równań dla konkretnego przepływu należy uwzględnić warunki brzegowe, a gdy przepływ jest niestacjonarny – także warunki początkowe. Te ostatnie polegają na określeniu pola prędkości w pewnej chwili (t=0), obranej za początkową, a więc wymagają sprecyzowania trzech funkcji:

Vx(x,y,z;0), Vy (x,y,z;0), Vz (x,y,z;0);

Postać tych funkcji nie zależy od tego, czy płyn jest idealny, czy też lepki.

Różnica w analitycznym opisie ruchu płynu idealnego i lepkiego wynika nie tylko z odmienności równań ruchu , lecz i z odmiennej postaci warunków brzegowych. Te ostatnie formułujemy zwykle dla powierzchni ciał opływanych lub ograniczających przepływ oraz w nieskończoności. Przyjmuje się, że w przepływie nie zaburzonym znane są prędkości i ciśnienie, a niekiedy także natężenie przepływu.

Postać powierzchniowych warunków brzegowych zależy od tego, czy ciało sztywne porusza się w płynie , czy też struga opływa nieruchome ciało. Omawiane warunki dotyczą prędkości, a ściślej mówiąc składowej normalnej i stycznej wektora prędkości. Odnośnie do składowej normalnej warunki brzegowe wyrażają oczywisty fakt, iż powierzchnia graniczna ciała sztywnego jest dla płynu nieprzenikliwa. Wobec tego jest to jedna z powierzchni prądu. W przepływie płaskim mówimy w takim przypadku o zerowej linii prądu, na której Vn=0 .



Warunki brzegowe składowej stycznej wynikają z faktu , iż elementy płynu lepkiego przywierają do ścian. W takim razie na powierzchni ciała nieruchomego prędkość płynu równa się zero, a gdy ciało porusza się, jest ona taka sama jak prędkość jak prędkość danego punktu ruchomej powierzchni. W ten sposób możemy zawsze ustawić tyle warunków brzegowych , ile jest stałych całkowania.


Pobieranie 2.65 Mb.

Share with your friends:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   24




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna