Zagadnienia z mechaniki płYNÓW



Pobieranie 2.65 Mb.
Strona13/24
Data25.10.2017
Rozmiar2.65 Mb.
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   24

19. Odwzorowanie konforemne
W nauce o przepływach, podobnie jak w innych naukach, wiele zagadnień jest opartych na izomorfiźmie, czyli na tożsamości struktury układów fizycznych i matematycznych. Szczególnie odnosi się to do przepływów z ich bardziej lub mniej sprecyzowanymi modelami matematycznymi. Modele matematyczne zmieniają się po poddaniu ich transformacją, ale te zmienione modele mogą być wykorzystane z racji niezmienności pewnych cech względem transformacji.

szczególne znaczenie posiada znajomość przebiegu jakiejś funkcji wewnątrz pewnego obszaru, gdy znana jest tylko jej wartość na brzegu tego obszaru. Dany obszar płaski można za pomocą odwzorowania przekształcić na inny obszar płaski, dla którego rozwiązania są znane lub łatwe do wyznaczenia. Odwzorowanie znalazło szerokie zastosowanie przede wszystkim w aerodynamice. Ułatwia ono w oparciu o teorię funkcji zmiennej zespolonej rozwiązanie szeregu zagadnień praktycznych, do których należy między innymi projektowanie profilów lotniczych.

Odwzorowanie polega na przyporządkowaniu punktów jednej płaszczyzny punktom drugiej płaszczyzny. Przyporządkowanie odbywa się przy pomocy funkcji odwzorowującej. Na przykład, punkt A’ płaszczyzny z jest przyporządkowany punktowi A płaszczyzny ξ, co wynika z następującej funkcji zmiennej zespolonej:

z=F1(ξ),


gdzie: z=x+iy

ξ=ξ+iη


Funkcja F1(ξ) odwzorowuje zatem punkty płaszczyzny ξ na płaszczyznę z. Istnieje oczywiście także funkcja odwrotna:
ξ=F2(z),
która odwzorowuje punkty płaszczyzny z na płaszczyznę ξ.

Jeżeli funkcja odwzorowująca jest holomorficzna, wówczas zachodzi ODWZOROWANIE KONFOREMNE (podobne). Odwzorowanie konforemne polega na tym, że odpowiadające sobie figury złożone z elementarnie małych odcinków pozostają po odwzorowaniu geometrycznie podobne. Tak więc, dwie linie przecinające się pod pewnym kątem, również po odwzorowaniu przecinają się pod tym samym kątem.

Warto przedstawić kilka prostych funkcji odwzorowujących. Najprostsza funkcja odwzorowująca ma następującą postać:
z=a*ξ
jeżeli a jest liczbą rzeczywistą, wówczas powyższa funkcja powoduje zmianę skali figury odwzorowywanej, jeżeli zaś a jest liczbą zespoloną wówczas odwzorowanie polega obrocie tej figury. Funkcja, która powoduje przesunięcie figury odwzorowywanej ma postać:
z=ξ+a
Na podstawie powyższego można krótko scharakteryzować metodę, która jest stosowana przy odwzorowaniu opływu profilu. Jeżeli jest znany opływ jakiegoś profilu, na przykład profilu kołowego, wówczas znany jest również potencjał zespolony f(ξ) tego opływu w płaszczyźnie ξ. Znając funkcję odwzorowującą F1, można otrzymać potencjał zespolony f(z), który przedstawia pewien przepływ w płaszczyźnie z, a mianowicie:
f(z)=F1[f(ξ)].
Funkcja odwzorowująca opływ okręgu na opływ profilu lotniczego nosi nazwę funkcji Żukowskiego:
z=ξ+a2/ξ,

W zależności od położenia środka okręgu O względem początku układu współrzędnych, otrzymuje się profile o różnym kształcie.

Duże usługi oddaje wprowadzenie płaszczyzny prędkości zespolonej, zwanej płaszczyzną hodografu Vx, Vy. jeżeli przepływ w płaszczyźnie x, y nie jest znany, wówczas można go odwzorować z wyznaczonego uprzednio obszaru płaszczyzny hodografu.
Ciało częściowo zanurzone:
Dowolne wychylenie ciała jest, ogólnie biorąc, wypadkową trzech przesunięć i trzech obrotów względem osi x, y, z. Najczęściej środek ciężkości S ciała pływającego leży powyżej środka wyporu N. Jak wynika z dalszych rozważań, przy takim położeniu środka ciężkości możliwe jest zachowanie stateczności pływania, co było wykluczone w przypadku ciała pływającego całkowicie zanurzonego.

Ciało jest stateczne, czyli posiada równowagę stałą przy przesunięciu wzdłuż osi z. Przy takiej wymuszonej zmianie głębokości zanurzenia, zostaje naruszona równowaga między ciężarem ciała G1 i wyporem W, co prowadzi do zmiany zanurzenia i powrotu do stanu początkowego.

Równowaga obojętna ma miejsce natomiast podczas przesunięć równoległych do zwierciadła cieczy, czyli podczas przesunięć wzdłuż osi x, y oraz podczas obrotu wokół osi z.

Pozostaje do rozważenia stateczność ciała w odniesieniu do obrotu wokół osi poziomych x i y. W obu przypadkach postępuje się analogicznie, jednak istotniejsze znaczenie ma stateczność wokół osi x, gdyż dotyczy obrotu wokół tej głównej osi bezwładności pola pływania, która odpowiada minimalnemu momentowi bezwładności. Zagadnienie to ma ważne znaczenie w teorii okrętu. Przy obrocie ciała wokół osi x o kąt φ, środek wyporu przemieszcza się w położenie N’. Przy niewielkim kącie wychylenia φ objętość zanurzonej części ciała nie ulega zmianie, wobec czego W=W’. Wypór W’ i ciężar ciała G1 tworzą parę sił o momencie prostującym G1*l=W’*l, gdzie l jest ramieniem stateczności. Jeżeli moment prostujący ma zwrot przeciwny do kąta obrotu – ciało znajduje się w równowadze stałej, jeżeli moment ma zwrot zgodny – ciało znajduje się w równowadze chwiejnej, wreszcie jeżeli moment jest równy 0 – ciało znajduje się w równowadze obojętnej.

Te rozważania uzupełnić można, wprowadzając pojęcie punktu M, zwanego METACENTRUM, czyli punktem przecięcia linii działania wyporu początkowego W i wyporu chwilowego W’. Odległość punktu M od środka ciężkości ciała S nosi nazwę ODLEGŁOŚCI (WYSOKOŚCI) METACENTRYCZNEJ m. Dla informacji można podać, że minimalna odległość metacentryczna statków wynosi m=0,5-4,5 [m].

Położenie wzajemne punktów M i S wskazuje na znak momentu prostującego. Mianowicie, gdy M leży powyżej S, wówczas odległość metacentryczna m jest dodatnia (m>0) i ciało jest stateczne. Gdy M leży poniżej S, wówczas odległość m jest ujemna (m<0) i ciało jest niestateczne. Wreszcie gdy punkty M i S pokrywają się, odległość m jest równa zero (m=0) i równowaga ciała ma charakter obojętny. Z powyższego widać, że aby wyznaczyć warunek stateczności pływania, wystarczy znaleźć znak odległości metacentrycznej m.

Odległość metacentryczną m można wyrazić przez parametry geometryczne ciała pływającego. Przy wychyleniu o mały kąt φ, wypór chwilowy W’ jest równy sumie algebraicznej wyporu początkowego W i wyporów Wk objętości klinowych:
W’=W-Wk+Wk
Wobec tego, warunek momentów względem osi x ma następującą postać:

M’=M+Mk

gdzie:Mk=Wk*l3 - moment wywołany wyporem objętości klinowych.

Momenty M’ i M wynoszą odpowiednio:


M’=W’*l2=ρ*g*V*l2

21 . Zasada zachowania masy. Równanie ciągłości.
Masa układu (obszaru płynnego) pozostaje stała. Masa cząstki elementarnej jest równa ρdV, gdzie dV jest objętością zajętą przez cząstkę, a ρ jest gęstością płynu. Wiedząc, że gęstość może się zmieniać w rożnych punktach układu, zachowanie masy może być wyrażone przez całkę
D/Dt*∫ ρdV=0
D/Dt - jest użyte, gdyż rozpatrujemy określony zbiór elementów materialnych.

Równanie ciągłości wynika bezpośrednio z zasady zachowania masy


dm/dt = d/dt * ∫ ρdV = 0



22. Zasada pędu w mechanice płynów. Równanie Eulera, Naviera-Stokesa.
Zasada pędu w mechanice płynów .

Poznana w mechanice ciał sztywnych zasada pędu znajduje także zastosowanie w mechanice płynów, głównie przy obliczaniu reakcji dynamicznej strumienia na umieszczoną w nim przeszkodę (np. na łopatkę turbiny) lub na ściany przewodu (kanału) , ograniczającego przepływ.



Zgodnie z brzmieniem wspomnianej zasady prędkość układu materialnego równa się geometrycznej sumie sił zewnętrznych, działających na ten układ, czyli


(1)



Aby skonkretyzować pojęcie układu materialnego, wyodrębniamy pewien obszar V, który może zawierać nie tylko płyn lecz także ciała sztywne, ruchome lub nieruchome. Jednak tylko płyn zawarty w obszarze stanowi układ materialny (rys.1). Otaczająca go powierzchnia płynna przemieszcza się wraz z wyodrębnionym zbiorem cząstek płynu (FzF'z), które zmieniają przy tym swój prąd. Ale w przepływie ustalonym obszar V można traktować jako nieruchomy, bowiem w dowolnym jego punkcie różne elementy płynu mają zawsze te same parametry. Będziemy go nazywać obszarem kontrolnym, a powierzchnię otaczającą go - powierzchnią kontrolną.





Różnica pędu masy przepływająca przez obszar kontrolny w jednostce czasu określa prędkość zmiany pędu układu, czyli lewą stronę równania (1).

Całkę obliczamy po powierzchni kontrolnej Fz, przy czym wyrażenie podcałkowe jest różne od zera tylko na tej części powierzchni, która jest przebijana przez linie prądu (czyli nie jest powierzchnią prądu).

Zmiana pędu dokonuje się pod wpływem się zewnętrznych, które są oddziaływaniami ze strony ciał nie należących do układu. Chodzi tu o ściany sztywne, na których przepływający gaz lub ciecz zmienia swój kierunek. Również płyn znajdujący się poza obszarem kontrolnym może działać na układ pewną siłą powierzchniową. Wreszcie pole grawitacyjne (lub inne zewnętrzne pole sił) może zmieniać pęd układu.

Płyn uderzający o ścianę sztywną wytwarza na jej powierzchni Fw pewne pole ciśnień dynamicznych oraz pole się tarcia. Wypadkowa zbioru elementarnych sił (normalnych i stycznych do Fw nazywa się



Pobieranie 2.65 Mb.

Share with your friends:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   24




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna