Schemat zadania na laboratorium z „Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów” w dniu 19 kwietnia 2002



Pobieranie 64 Kb.
Data12.02.2020
Rozmiar64 Kb.



Politechnika Poznańska

Instytut Elektroniki i Telekomunikacji

Zakład Systemów Telekomunikacyjnych

Wstęp do Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów - Laboratorium

Estymacja gęstości prawdopodobieństwa i funkcji autokorelacji

1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa


Funkcja gęstości prawdopodobieństwa fx(x) (ang. p.d.f. - probability density function) jest podstawową charakterystyką sygnałów losowych, spotykanych w systemach telekomunikacyjnych. Funkcja ta jest definiowana jako pochodna:
fx(x)=d/dx(Fx(x)
gdzie Fx(x) oznacza dystrybuantę sygnału losowego X, daną wzorem
Fx(a)=Prawdopodobieństwo (- nieskończoność < X < a)
Należy zauważyć, że wartości Fx(.) są prawdopodobieństwami, w odróżnieniu od fx(.). Prawdopodobieństwa uzyskuje się dopiero w wyniku całkowania fukcji fx(.), na przykład prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną X wartości z przedziału (a, b] oblicza się jako całkę fx(x) w tym przedziale. Takie właśnie prawdopodobieństwa estymowane są w ramach używanego przez nas programu symulacyjnego. Jak opisano w [1], blok "Histogram" wyznacza częstość pojawiania się wartości analizowanego sygnału, należących do określonych przedziałów. Następuje tu przyporządkowanie próbek sygnału do poszczególnych przedziałów,

przy czym liczba przedziałów określona jest parametrem "Number n of bins". Rzędna histogramu określa częstość pojawiania sie próbek mieszczących się w przedziale. Górna granica "najwyższego" przedziału i dolna granica "najniższego" przedziału określone są parametrami odpowiednio BM i Bm. Przedziały mają identyczne szerokości, określone wzorem:
delta=(BM - Bm)/n
i środki umieszczone w punktach:
Bm + (k +1/2)delta
Wartości sygnału przypadające na granicy dwóch przedziałów zaliczane są do przedziału niższego; oznacza to, że każdy przedział zawiera swoją górną granicę. Na przykład przedział o szerokości 4 i środku w punkcie o współrzędnej 5 zawiera wartość sygnału równą 7, a nie zawiera wartości 3. Wartości sygnału powyżej BM lub poniżej Bm są zaliczane, odpowiednio do najwyższego lub najniższego przedziału. Wartości histogramu są zmiennymi losowymi i ich rozrzut zależy od funkcji gęstości prawdopodobieństwa i jest odwrotnie proporcjonalny do liczby pobranych próbek sygnału. Dla danej liczby próbek należy znaleźć kompromis między szerokością przedziałów i dyspersją wyników, tak by uzyskany wykres możliwie wiernie odtwarzał kształt rzeczywistego rozkładu. W symulowanym modelu zawarte są cztery źródła sygnału:

  • generator sygnału sinusoidalnego (Sine Wave - sinusoida może być traktowana jak sygnał losowy, jeżeli jej faza początkowa jest wybierana losowo),

  • generator liczb losowych o rozkładzie równomiernym (Uniform Random Number 1),

  • generator sygnału losowego ciągłego (Band Limited White Noise),

  • generator sygnału o rozkładzie gaussowskim, wytwarzający "ramki" próbek (Gaussian Noise Generator 2).

Aktualnie wykorzystywane źródło sygnału wybierane jest przełącznikiem sterowanym z bloku "Constant Number" (wybiera się wartości 1-4).

Uruchomienie modelu pozwala obserwować proces estymacji. We wszystkich czterech przypadkach (dla czterech różnych źródeł sygnału) należy zmieniać moc i wartość średnią sygnału i porównać te parametry z wartościami otrzymanymi z wykresu. Można również zmienić liczbę przedziałów i czas symulacji (tym samym liczbę próbek) i stwierdzić wpływ tych parametrów na jakość estymacji.

2. Funkcja autokorelacji


Funkcja autokorelacji Rxx(m) jest ilościową miarą zależności wartości sygnału x, przesuniętych o pewien przedział czasu lub odpowiadającą mu liczbę próbek (ang. "delay" lub "lag"). Funkcja korelacji jest definiowana jako następująca wartość oczekiwana
Rxx(m)=E[x(n) x(n+m)]

Dokładne wyznaczenie funkcji korelacji wymaga zatem znajomości odpowiedniego dwu-wymiarowego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, dotyczącego przesuniętych wartości sygnału. W praktyce rozkład taki na ogół nie jest znany i funkcja korelacji może byc jedynie estymowana i ta właśnie możliwość wykorzystywana jest w naszym ćwiczeniu, związanym z zastosowaniem typowych bloków MATLAB'a.

Zgodnie z [1] blok "Autocorrelation" (ACF) wyznacza estymator funkcji korelacji w postaci


Rxx(m)* = 1/(M-m)(x(1)x(1+m)+...+ x(M-m)x(M))

gdzie M oznacza liczbę próbek sygnału. Wzór pozostaje aktualny, gdy parametr bloku w okienku "Block Parameters" ustalimy jako "nieobciązony" ("unbiased"). Rxx(m)* jest zmienną losową o rozrzucie proporcjonalnym do sumy wartości kwadratów funkcji korelacji i odwrotnie proporcjonalnym do wartości M, dla całego przedziału m, dla którego wartości Rxx(m) są jeszcze różne od zera. Zależność ta obowiązuje dla procesów gaussowskich i dostatecznie dużych M (w porównaniu z maksymalnymi wartościami m). Należy zauważyć, że w menu "Computation Domain" wybrać można jedną z następujących dziedzin, dla których omawiany blok wykonuje operacje splotu:

  • Czas - wykonanie operacji w tej dziedzinie minimalizuje obszar potrzebnej pamięci.

  • Częstotliwość - wykonanie operacji w obszarze częstotliwości prowadzi na ogół do zredukowania liczby operacji w porównaniu z poprzednim przypadkiem.

W ćwiczeniu zademonstrowane zostało bardzo popularne zastosowanie funkcji korelacji: detekcja sygnału okresowego, silnie zaszumionego. Można stwierdzić, że dla stosunkowo dużej mocy zakłócenia bezpośrednia obserwacja sygnału sinusoidalnego nie jest możliwa (por. obraz na ekranie "Vector scope" dla różnych amplitud sinusoidy pokazanej na ekranie "Vector scope 1"). Do wykrycia sinusoidy i określenia jej amplitudy i częstotliwości może być jednak zastosowany efekt korelacji (por.obraz na ekranie "Frame Scope 2"). Mozna stwierdzić, że dla dostatecznie dużych wartości m amplituda estymowanej funkcji

korelacji równa się (amplituda sinusoidy)^2/2. Model uruchamia się dla określonego czasu symulacji. Można zauważyć, że kolejne estymatory korelacji ("Frame Scope 2") różnią sie od siebie z powodu ich losowego charakteru (p.wyżej). Dyspersja wartości krzywych na tym ekranie zależy od liczby próbek M i fakt ten można łatwo zauważyć. Wartość M można zmieniać w okienkach "Block Parameters" generatorów "Random Source" i "Sine Wave", gdzie M odpowiada "liczbie próbek przypadających na ramkę" ("Number of Samples per Frame").

3. Opis ćwiczenia




  1. Uruchomić symulację (rozkla1p.mdl) dla sygnału sinusoidalnego, a następnie dla szumu gaussowskiego.

  2. Sprawdzić postać histogramu dla sygnału losowego o różnych parametrach

  3. Uruchomić symulację rozkla2p.mdl. Porównać otrzymane przebiegi z różnymi nastawieniami generatora sinusoidalnego i źródła szumu.

4. Wzór sprawozdania



Wstęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów – laboratorium

Temat:

Imię i nazwisko:

Data ćwiczenia:

Data oddania sprawozdania:

Ocena:

Sprawozdanie powinno zawierać wykresy otrzymanych przebiegów oraz wnioski.





Instytut Elektroniki i Telekomunikacji – Zakład Systemów Telekomunikacyjnych


Pobieranie 64 Kb.

Share with your friends:




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna