Logika prof dr hab. Bogdan WĘglorz rachunek zdań, algebry uniwersalne. Systemy relacyjne


WNIOSEK 4.3. Jeśli  jest zdaniem oraz dla pewnego wartościowania a



Pobieranie 6.74 Mb.
Strona15/57
Data25.10.2017
Rozmiar6.74 Mb.
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   57

WNIOSEK 4.3. Jeśli  jest zdaniem oraz dla pewnego wartościowania a mamy A╞ [a] , to dla każdego wartościowania b mamy też A╞ [b] .

Dowód. Jeśli  jest zdaniem, to ZV() =  . Wtedy jednak, dla dowolnych dwóch wartościowań a i b , mamy a  ZV() = b  ZV() . Teza więc wynika z Faktu 4.2.

Inną konsekwencją Faktu 4.2. jest możliwość zmiany naszych oznaczeń. Skoro bowiem spełnianie formuły  przez wartościowanie a w systemie A zależy wyłącznie od wartości a na zbiorze zmiennych ZV() = {x1 , ... , xn}, więc logicznym jest pisać A╞ [a1 , ... , an] , co ma oznaczać, że  jest spełnione w A przy dowolnym wartościowaniu, przy którym a(x1) = a1 , ... , a(xn) = an . Jeśli to jednak może prowadzić do nieporozumień, będziemy używali nieco precyzyjniejszego zapisu i zamiast np.



A╞ [a1 , ... , an] , będziemy pisać A╞ [ , ... , ] .

W każdym bądź razie, dla zdania  , miast pisać A╞ [a] , możemy pisać A╞  i mówić, że zdaniejest prawdziwe w A .

Dla danego systemu A , zbiór wszystkich zdań prawdziwych w A , nazywamy teorią A i oznaczamy Th(A) , czyli Th(A) = { :  jest zdaniem oraz A╞ } . To pojęcie można rozszerzyć na przypadek klasy systemów. Jeśli K jest klasą systemów, to

Th(K) = { :  jest zdaniem oraz dla każdego A  K , A╞ } .

Można to tez opisać Th(K) = {Th(A) : A  K} .

Podobnie, dla danego zdania  , jeśli A╞  , to A nazywamy modelem  . To pojęcie można rozszerzyć na zbiory zdań, mianowicie, jeśli  jest zbiorem zdań i A╞  , dla każdego    , to A nazywamy modelem zbioru zdań  . To można potraktować ogólniej: każde zdanie  definiuje klasę systemów Mod() = { A: A╞  } , również jeśli  jest zbiorem zdań, to można zdefiniować klasę



Mod() = {Mod() :   } .

Jeśli dla klasa modeli K istnieje zbiór zdań  taki, że K = Mod() , to K nazywamy klasą elementarną, a zbiór  nazywamy aksjomatyką klasy K .

Wprowadzone pojęcia pozwalają na wprowadzenie dużej ilości pojęć logiki związanych z semantyką.

DEFINICJA. (1) Zdanie  (zbiór zdań ) jest semantycznie niesprzeczne jeśli ma model;

(2) Zdanie  jest semantyczną konsekwencją zdania  (zbioru zdań ) jeśli  jest prawdziwe w każdym modelu  (zbioru zdań );

(3) Zdanie  jest tautologią jeśli dla każdego systemu A , mamy A╞  .

(4) Zdania  i  są semantycznie równoważne, jeśli Mod( ) = Mod() ;

(5) Systemy A i B są elementarnie równoważne jeśli Th(A) = Th(B) , symbolicznie A  B .

Ostatnie pojęcie ma swoje rozszerzenie.



DEFINICJA. Przypuśćmy, że A  B oraz przypuśćmy, że dla każdego wartościowania a w A i każdej formuły  mamy A╞ [a] iff B╞ [a] . Wtedy A nazywamy elementarnym podmodelem B , a B elementarnym rozszerzeniem A , symbolicznie A  B .

Na zakończenie podamy konstrukcję wszystkich rozszerzeń danego systemu A . Niech A będzie uniwersum systemu A , którego językiem jest L . Rozszerzmy nasz język L do języka L  dając nowe stałe {ca : a  A}. Oczywiście możemy natychmiast wydłużyć nasz system A do systemu A dla języka L  interpretując nową stałą ca w A jako a , czyli c = a , dla każdego a  A . Niech następnie A będzie zbiorem wszystkich zdań atomowych i ich negacji w języku L  . Zbiór A nazywamy diagramem systemu A .

Następujący fakt jest oczywisty (z definicji izomorfizmu).



WNIOSEK. 4.4. System B można wydłużyć do systemu B = (B , {c : a  A}) będącego modelem A iff istnieje izomorfizm A w B .



Pobieranie 6.74 Mb.

Share with your friends:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   57




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna