Logika prof dr hab. Bogdan WĘglorz rachunek zdań, algebry uniwersalne. Systemy relacyjne



Pobieranie 6.74 Mb.
Strona14/57
Data25.10.2017
Rozmiar6.74 Mb.
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   57
a  ZV() = b  ZV() , daje a  ZV(tn) = b  ZV(tn) , dla n = 1 , ... , vi . Na mocy Faktu 4.1., mamy t (a) = t (b) , dla każdego n = 1 , ... , vi . Konsekwentnie (t (a) , t(a) , ... , t(a)) = (t (b) , t(b) , ... , t(b)) . A więc, jak poprzednio A╞ (Pi t1 ... t)[a] iff A╞ (Pi t1 ... t)[b] .

Przypuśćmy więc, że  jest postaci 1  2 . Wtedy ZV() = ZV(1)  ZV(2) . A więc, założenie a  ZV() = b  ZV() , implikuje a  ZV(1) = b  ZV(1) i a  ZV(2) = b  ZV(2) . Z założenia indukcyjnego mamy więc A╞ 1 [a] iff A╞ 1 [b] i A╞ 2 [a] iff A╞ 2 [b] . Ponieważ

A╞ [a] iff A╞ 1 [a] i A╞ 2 [a] . Więc A╞ [a] iff A╞ [b] .

Niech teraz  będzie postaci  . Ponieważ ZV() = ZV() , założenie a  ZV() = b  ZV() , implikuje a  ZV() = b  ZV() . Z założenia indukcyjnego mamy więc A╞ [a] iff A╞ [b] . Teraz mamy: A╞ [a] iff nieprawda, że A╞ [a] , czyli nieprawda, że A╞ [b] . To jednak oznacza, że A╞ [b] .

Pozostaje kwantyfikator. Niech więc  będzie formułą x  . Przypuśćmy, że A╞ [a] . To oznacza, że istnieje modyfikacja a w punkcie x , nazwijmy ją a’ taka, że A╞ [a’] . Jeśli zmodyfikujemy b w punkcie x , kłądąc b’ = b(xa’(x)) , otrzymamy wartościowanie b’ , które jest równe a’ wszędzie tam gdzie a równało się b oraz dodatkowo w punkcie x . Ponieważ

ZV()  {z  X : a(z) = b(z)} , więc

ZV()  ZV()  {x}  {z  X : a’(z) = b’(z)} .

Dzięki temu, założenie indukcyjne daje A╞ [a’] iff A╞ [b’] . To jednak implikuje A╞ [b] . Symetria założeń kończy dowód.

Najważniejszą konsekwencją Faktu 4.2, jest to, że spełnianie zdań nie zależy od wartościowania. Dokładniej, mamy następujący wniosek.



Pobieranie 6.74 Mb.

Share with your friends:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   57




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna