Fraktal łac


Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa



Pobieranie 0.7 Mb.
Strona4/14
Data25.10.2017
Rozmiar0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa


Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór U taki, że

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą s)






Pojęcie wymiaru

Wymiar topologiczny


W życiu codziennym oraz w geometrii klasycznej, posługujemy się tzw. wymiarem topologicznym. Jako jego definicję, najczęściej podaje się, że dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-wymiarowej. Z tej definicji jasno wynika, że punkt ma wymiar 0, odcinek i okrąg mają wymiar 1, kwadrat, koło są dwu-wymiarowe, natomiast sześcian czy ostrosłup trójwymiarowe.

Wymiar Hausdorffa-Besicovitcha


Przeanalizujmy odcinek a o jednostkowej długości. Teraz przypatrzmy się odcinkowi b, który jest podobny do odcinka a w skali 2. Można zatem powiedzieć, że odcinek b składa się z dwóch odcinków a, czyli inaczej, że ma dwa fragmenty identyczne jak oryginalny odcinek a.

Teraz rozważmy kwadrat o boku a. Tak samo patrzymy na drugi kwadrat o boku b, podobny do poprzedniego także w skali 2. Tym razem jednak, powstały kwadrat składa się z czterech kwadratów identycznych jak kwadrat a.

Jako trzeci przykład zbadamy sześcian. Po konstrukcji podobnego sześcianu widzimy, że ten zawiera już osiem sześcianów identycznych jak pierwotny.

Powszechnie wiemy, że stosunek pól powierzchni dwóch figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa, a stosunek objętości tych figur jest równy sześcianowi skali podobieństwa, co można zapisać jako: N=s2 oraz N=s3, gdzie N jest stosunkiem pól/objętości a s jest skalą podobieństwa. Ten wzór można zapisać w ogólnej postaci: N=sd gdzie dodatkowo d jest wymiarem. Wyprowadzając z tego wzoru d, orzymujemy ostateczną wersję wzoru wykorzystywanego do obliczania wymiaru Hausdorffa.



lub


Wcześniej przytoczyłam trzy przykłady, dla których teraz chciałabym zaprezentować ten wzór.

We wszystkich przypadkach skala podobieństwa była równa 2 (s=2). W pierwszym przypadku rozważaliśmy odcinek, a więc obiekt jednowymiarowy. (d=1) Ilość identycznych fragmentów była równa 2 (N=2). Zatem 2=21 - równość zostaje zachowana. W drugim przypadku rozważamy obiekt dwuwymiarowy (d=2), identyczne fragmenty były 4 (N=4). 4=22 - Znów równanie jest prawdziwe. Sześcian jest figurą trójwymiarową (s=3), identycznych fragmentów było 8 (N=8), zatem 8=23. Teraz spróbujmy wykorzystać ten wzór dla obliczenia wymiaru jakiegoś fraktala. Zbiór Cantora - rysujemy najpierw jego podstawową wersję, a następnie szukamy takiej skali, w której znajdą się co najmniej dwie kopie pierwowzoru. W naszym przypadku jest to skala równa trzy (s=3) - zbiór Cantora powtórzył się po raz drugi (N=2). Teraz tylko obliczamy d=log32, d=0,63... Jak się okazuje, wymiar fraktalny zazwyczaj nie jest liczbą naturalną. Wyjątkiem jest między innymi piramida Sierpińskiego. W skali dwa (s=2), pierwotna piramida powtarza się cztery razy (N=4), więc d jest równe 2.

Wymiar Minkowskiego-Bouliganda


Wymiar Minkowskiewgo przydaje nam się, w momencie, gdy nie możemy ocenić skali podobieństwa badanego obiektu. Jest on w większości przypadków zgodny (to znaczy, że daje takie same rezultaty) z omawianymi wcześniej wymiarami: topologicznym i Hausdorffa. Czasem jednak, jest on większy od innych wymiarów tego samego obiektu. Wymiar ten zwany jest także wymiarem pudełkowym. (Jest oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. ,,pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.) Jest on przydatniejszy, w momencie gdy mamy do czynienia z konkretnym problemem. Ogólna definicja tego wymiaru brzmi: najmniejsza liczba zbiorów o maksymalnej średnicy e pokrywających dany ograniczony zbiór.

Badając wymiar Minkowskiego, szukamy zależności pomiędzy ilością zbiorów potrzebnych do pokrycia danego zbioru ( Ne (F) ), a odcinkiem miarowym (e). Licząc wymiar dla zadanej dokładności przyjmujemy stałą wartość e. Jeśli potrzebujemy dokładniejszych wyników, musimy założyć, że e dąży do zera. Tak jak przy wymiarze Hausdorffa analizowaliśmy trzy figury, tak zrobimy i teraz. Po zwiększeniu długości odcinka dwukrotnie potrzebujemy dwóch odcinków o pierwotnej długości, aby go całkowicie pokryć (2=12).


W przypadku kwadratu potrzebujemy czterech kwadratów (4=22), a przy sześcianie ośmiu (8=23). Zauważmy zależność

gdzie D jest wymiarem Minkowskiego, jest liczbą zbiorów potrzebnych do pokrycia zbioru F, e jest dokładnością pomiaru (czyli maksymalną średnicą zbioru) a c jest stałą.


Aby wyznaczyć D, logarytmujemy obie strony:

i ostatecznie wyznaczamy D:



Jest to wzór, służący do pomiaru dla zadanej dokładności, z czego wynika, że otrzymane D będzie tylko przybliżone. Aby otrzymać dokładny wynik, należy skorzystać z definicji granicy.



Drugi składnik nie zależy od e, więc możemy go opuścić,



Jeśli ta granica istnieje, to jest ona wymiarem Minkowskiego.


Podaną wyżej definicję możemy przekształcać dla własnych potrzeb, tworząc równoważne definicje. Możemy się posługiwać zbiorem o typowo matematycznej definicji (bez ustalonego kształtu) a także zbiorem konkretnym, w interpretacji graficznej przedstawianym jako figura geometryczna, lub dowolna zamknięta krzywa lub łamana.
W tym momencie możemy już skorzystać w jednej z kilku najpopularniejszych równoważnych definicji, ułatwiających skonstruowanie nam pokrycia zbioru:

  1. najmniejsza liczba zbiorów o średnicy e potrzebnych do pokrycia danego zbioru

  2. najmniejsza liczba kół o promieniu e potrzebnych do pokrycia danego zbioru

  3. najmniejsza liczba kwadratów o boku e potrzebnych do pokrycia danego zbioru

  4. najmniejsza liczba kratek o boku e (siatki) potrzebnych do nałożenia siatki

Oczywiście, możemy także stworzyć równoważne definicje dla potrzebnej nam liczby wymiarów. Dla praktycznych zastosowań, najważniejsza jest dla nas definicja piąta. Umożliwia nam ona badanie wymiaru obiektów niekoniecznie będących fraktalami możliwych do przedstawienia na płaszczyźnie. Oczywiście, jeśli badamy obiekt trójwymiarowy, to nasza "kratka" będzie także trójwymiarowa. Tej metody używa się bardzo często do analizy zdjęć i map. Jako przykład zastosowania postanowiłam obliczyć wymiar granic Polski.

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru A jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa



Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie n oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy

Możemy więc napisać



Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą




Zbiory Julii i Mandelbrota


Zbiory takie jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii czy "płonący statek" są podzbiorami płaszczyzny zespolonej. Dla każdego punktu p określa się pewien ciąg zn(p). Od zbieżności tego ciągu zależy czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem rekurencyjnym:

z0(p) = f(p)

zn + 1(p) = g(zn)

Od postaci funkcji f i g zależy rodzaj fraktala.

Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których:

Przykłady



  • zbiór Mandelbrota:

  • zbiór Julii zależy dodatkowo od ustalonego parametru c (dla każdego c otrzymujemy inny zbiór): .

  • "płonący statek": .

W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu gdy | zn | > 2. Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.

Pobieranie 0.7 Mb.

Share with your friends:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna