Fraktal łac



Pobieranie 0.7 Mb.
Strona14/14
Data25.10.2017
Rozmiar0.7 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Konstrukcja


Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

z0 = 0

nie dąży do nieskończoności:



Można wykzać, że jest to równoważne z:



Podsumowując jednym zdaniem:



Alternatywnie zbiór Mandelbrota definuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.


Obrazy przybliżone



Przybliżony (128 pierwszych wyrazów ciągu) obraz zbioru (czarny)


Dokładniejszy obraz (2048 pierwszych wyrazów ciągu)

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu zn. Decyduje się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | zn | < 2. Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. Zbiór Madnelbrota zawiera się (jest podzbiorem) każdego przybliżenia. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu zn, które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba m jest uzyskiwana niejako "za darmo", często wykorzystuje się ją do pokolorowania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości m przyporządkowuje się pewien kolor.


Zastosowania

Zastosowania informatyczne

Kompresja fraktalna


Pomysł kompresowania obrazów za pomocą fraktali jest w miarę młody, jednak już uzyskuje się zaskakujące rezultaty. Ogólnie przyjmując, kompresja polega na takiej zmianie struktury danych, aby w efekcie zmniejszyły one swój rozmiar. Kompresją dzieli się na stratną (jakościowa) i bezstratną (ilościowa). W przypadku tej pierwszej, dane ulegają zmianie, nie są identyczne jak ich pierwowzór, jednakże zazwyczaj nie są to znaczne straty. Kompresja bezstratna, nie powoduje żadnych zmian w danych. Kompresji używa się do wielu celów. Najpopularniejsze to archiwizacja danych oraz kompresowanie multimediów.
W pierwszym przypadku stosuje się tylko i wyłącznie kompresję bez utraty danych.
W drugim, oba jej rodzaje. Kolejnym elementem wartym omówienia, jest współczynnik kompresji. Jest to miara stosunku rozmiaru danych pierwotnych do ich rozmiaru po kompresji.

Jeśli rozmiar danych po kompresji zmalał dwukrotnie, to współczynnik kompresji wynosi 2:1. Im ten współczynnik jest większy, tym kompresja jest silniejsza. Programy komputerowe mogą osiągnąć maksymalnie współczynnik kompresji rzędu 16:1. Przeciętnie 2:1 - 5:1.

Oficjalny format wykorzystujący kompresję fraktalną to IFS (Iterative Function Systems) firmy Iterative Systems. Algorytmy jej produkcji pozwalają uzyskać kompresję o współczynniku nawet 10000:1. Kompresja trwa bardzo długo, natomiast dekompresja jest błyskawiczna.

Kompresja fraktalna polega na znajdowaniu podobieństwa pomiędzy poszczególnymi fragmentami obrazu. Obraz najpierw dzielony jest na niewielkie obszary zwane płatkami, które całkowicie pokrywają jego powierzchnie. Następnie, dla każdego płatka wyszukuje się taki inny obszar obrazu, który po odpowiednich transformacjach będzie najbardziej zbliżony do oryginału. Kiedy znajdziemy przekształcenia dla wszystkich płatków, będziemy mieli informacje wystarczające do zapisu pliku. Samopodobieństwo fragmentów obrazu jest opisywane za pomocą systemu IFS, więc przy szukaniu przekształcenia stosuje się tutaj wszelkiego rodzaju symetrie, obroty i skalowania. Dodatkowo wykorzystuje się różnicę jasności. Opisy tych transformacji składają się z niewielkiej ilości informacji, co daje w rezultacie wysoki stopień kompresji.



Oto bardziej szczegółowy opis podobnego ale prostszego algorytmu:
Obraz jest dzielony na kwadratowe płatki o rozmiarze 2x2, 4x4, 8x8 lub 16x16 pikseli. Następnie obrazek rozdziela się na trzy składowe (RGB lub YUV) i każdy kompresuje osobno jako obraz w odcieniach jasności. Algorytm w trakcie działania każdy płatek powiększa dwukrotnie, przyciemnia i szuka na całej powierzchni obrazu takiego fragmentu, który jest najbardziej do niego podobny, uwzględniając wszelkiego rodzaju transformacje.
Do pliku wynikowego, zapisywane są współrzędne obszaru, przekształcenia oraz względne rozjaśnienie.

Generowanie linii brzegowej


Algorytm ten jest dość prosty, a przy tym daje dobre rezultaty. Za jego pomocą możemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złożone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe i całe wyspy. Na początku tworzymy dowolną zwyczajną (nie wiązaną) łamaną zamkniętą o dowolnej liczbie boków (oczywiście większej lub równej 3). Na początku algorytmu wybieramy bok i wyznaczamy punkt leżący na prostej prostopadłej do niego w losowej odległości, nie większej niż połowa długości tego boku. Punkt ten może leżeć z dowolnej (losowej) strony boku. W każdym kroku, postępujemy tak ze wszystkimi bokami łamanej, uzyskując łamaną o dwukrotnie większej liczbie boków. Najlepsze efekty uzyskuje się, jeśli liczba kroków mieści się w granicach 10-12 dla rozdzielczości 640x480 lub 800x600. Pomimo prostoty, algorytm ten daje bardzo ciekawe, czasem nieoczekiwane efekty. Można go wykorzystać także do innych celów. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, możemy zapamiętać dowolną łamaną używając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci.


Generowanie gór fraktalnych


Generowanie gór za pomocą fraktali jest możliwe, ze względu na samopodobną strukturę gór. Ich samopodobieństwo jest takie samo jak samopodobieństwo linii brzegowej, to znaczy tak jak wcześniej przy kolejnych powiększeniach pojawiały się kolejne zatoki i półwyspy, potem pod-zatoki i pod-półwyspy, tak teraz pojawiają się coraz mniejsze kotlinki i szczyty. Algorytm ogólnie także jest podobny do przedstawionego wcześniej, lecz tutaj operujemy na przestrzeni trójwymiarowej. Podstawą algorytmu jest rekurencyjny podział obszaru na którym będą się znajdowały góry na mniejsze identyczne obszary. Tymi obszarami mogą być kwadraty, trójkąty lub sześciokąty. Losujemy wysokości na jakich znajdować się będą wierzchołki figury (na rysunku zaznaczone na czarno), a następnie obliczamy Wysokości punktów potrzebnych nam do kolejnego podziału (zaznaczone na szaro). Aby to zrobić, obliczamy średnią wysokość sąsiednich punktów i modyfikujemy ją o losową wartość. Teraz, mając obliczone nowe wysokości, używamy ich jako wierzchołków dla nowej figury którą ponownie podzielimy. Kwadrat dzielimy na cztery kwadraty, trójkąt na cztery trójkąty, a sześciokąt na trzy sześciokąty, i dla każdego z nich powtarzamy cały algorytm, zmniejszając maksymalną wartość losowej modyfikacji wysokości.

Chmury fraktalne (plazmowe)


Efekt ten jest w całości oparty na wcześniej opisanym efekcie generowania gór. Cały algorytm przebiega identycznie, poza kilkoma drobnymi różnicami. Nie operujemy tutaj w trójwymiarowej przestrzeni, ale na dwuwymiarowej mapie wysokości. Jeśli wcześniej pokazywaliśmy efekt w przestrzeni, to teraz robimy to na płaszczyźnie, zamieniając wysokość na przeźroczystość, dzięki czemu tam gdzie są niższe wysokości widzimy na przykład kolor biały, natomiast gdzie wysokości są wyższe chmury są przeźroczyste.

Dla programu GIMP został stworzony plug-in, pozwalający za pomocą fraktala tworzy przeróżne struktury o cechach fraktalnych. Buduje się je dzieląc i łącząc ze sobą "części" fraktala. Tym pluginem jest IfsCompose. Za jego pomocą można generować liście, drzewa, kwiaty oraz wiele innych obiektów cechujących się samo podobieństwem, aczkolwiek nie koniecznie.


Powiększanie obrazów


Znaczna większość używanych przez nas obrazów komputerowych to obrazy rastrowe. Oznacza to, że obraz podzielony jest na skończoną liczbę małych punktów (pikseli), z których każdy ma określoną barwę. Ilość tych punktów jest iloczynem wysokości i szerokości obrazu. Powiększając obraz, piksele także stają się coraz większe, aż w końcu możemy je bez problemu policzyć. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest grafika wektorowa, w której to zapamiętujemy współrzędne punktów potrzebnych do odtworzenia danej figury, np. zapamiętujemy jedynie współrzędne wierzchołków odcinka. Przy dowolnym powiększeniu odcinek zawsze będzie miał taką samą grubość. Niestety taki format grafiki nie sprawdza się w przypadku zdjęć.

Opiszę teraz metodę, pozwalającą powiększać obrazy w skali szarości. Mamy zdjęcie o danych rozmiarach oraz funkcję f(x,y), która punktowi obrazu o współrzędnych (x,y) przyporządkowuje jego jasność. Dla różnych obrazów funkcja ta wygląda inaczej. Zbiór wartości i dziedzina takiej funkcji są zbiorami dyskretnymi, więc nie będą przydatne. Tworzymy kolejną funkcję, której dziedziną będzie iloczyn kartezjański dwóch odcinków o długościach równych wysokości i szerokości obrazu, natomiast wartości w punktach leżących pomiędzy kolejnymi pikselami będą się zmieniały w sposób ciągły i liniowy. Dzięki temu, nasz obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.


Inne zastosowania naukowe


Pomimo, iż fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale także nowoczesnej technologii. Oto najważniejsze zastosowania fraktali:

  • badanie nieregularności powierzchni,

  • opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych,

  • przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych - kompresja fraktalna,

  • modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej,

  • badanie struktury łańcuchów DNA,

badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce.

Oprócz tego, istnieje wiele mniej znanych zastosowań fraktali, z czego część jest już wykorzystywana na co dzień.

Analiza danych od dość długiego czasu zmierza ku poszukiwaniu wzorców zachowań. Szukanie zależności pomiędzy danymi nie daje takich efektów jak znalezienie wzorów umożliwiających przewidzenie dalszego kierunku (zachowania) danych. Wzory i charakterystyki fraktali dają nam możliwość zastosowania w bardzo wielu przypadkach, między innymi w medycynie, biologii, psychologii, gospodarce, ekonomii.

W medycynie fraktale znalazły zastosowanie między innymi w analizie obrazów tomograficznych oraz w rozpoznawaniu komórek. Na przykład kilka lat temu w ośrodku badawczym w Mount Sinai w Nowym Jorku zostały wskazane zależności pomiędzy wymiarem fraktalnym chromosomu, a rakiem.

Fraktale zadziwiają nas połączeniem nieskończonej złożoności i prostoty tworzenia. Każdy kto zobaczył choć raz prawdziwy fraktal, i dowiedział się że nie jest on tworem człowieka na pewno zapamiętał go na całe życie. Po raz pierwszy w historii, człowiek może podziwiać abstrakcyjny twór natury. Całą dotychczasowa sztuka, próbuje odwzorować albo naturę, albo abstrakcyjne twory człowieka. Teraz możemy zobaczyć to, na czym wzorowała się natura. P. Wargin napisał: "Wielu twierdzi iż są Sztuką (tak jest: Sztuką) same w sobie, bez ingerencji człowieka."

Fraktale czasem używane są także w filmach i wszelkiego rodzaju grach, głównie do tworzenia realistycznych efektów ognia. W trójwymiarowych światach znalazły zastosowanie w generowaniu roślin, krajobrazów i stworzeń. Stworzenie na przykład drzewa, korzystając z funkcji afinicznych w przestrzeni lub innych funkcji rekurencyjnych jest znacznie szybsze i prostsze niż dokonanie tego innymi metodami.

Na Wydziale Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej na Uniwersytecie Mikołaja Kopernika w Toruniu są prowadzone prace badawcze Zespołu Fizyki Medycznej między innymi na temat cyfrowej analizy obrazów dna oka. Skład zespołu zajmującego się tym zagadnieniem: dr M. Berndt-Schreiber, K. Majewska, A. Zduniak, D. Szczepaniak. Celem ich prac jest "stworzenie metody do obiektywnego i ilościowego określenie stanu oka", co według oczekiwań, powinno pomóc w diagnozowaniu jaskry. Opracowana metoda polega na wyznaczaniu wymiaru fraktalnego obrazu dna oka w skali szarości. Prawidłowe wartości dla osób zdrowych to od 2.4 do 2.5, natomiast dla osób chorych wartość ta jest wyższa i wynosi od 2.5 do 2.7. Oprócz opracowania samej metody zespół stworzył także bazę danych zawierającą obrazy oka, rozpoznanie, wymiar fraktalny oraz stosunek średnicy zagłębienia do powierzchni tarczy nerwu wzrokowego (C/V) i stosunek powierzchni naczyń krwionośnych do powierzchni tarczy nerwu wzrokowego (V/D).

Już dziś zauważamy że jeśli nawet nie cała, to większość materii ożywionej posiada strukturę fraktalną. Chcąc poznać naturę, musimy zgłębić jej fraktalny aspekt. Najważniejszym celem naszych działań powinno być rozszyfrowanie łańcucha DNA. Ostatnio powstała ciekawa teoria, że w łańcuchu tym nie są zawarte informacje o budowie każdej komórki naszego organizmu, jak twierdzi większość naukowców, lecz algorytm według którego budowane są poszczególne organy. Taki algorytm miałby najprawdopodobniej formę rekurencyjnego wzoru z liczbami zespolonymi, jaka to często jest spotykana właśnie w świecie fraktali.

Fraktale znalazły także zastosowanie w modelowaniu struktury ludzkiego mózgu. Pozwalają one odtworzyć strukturą naczyniową organizmu. Wymiar fraktalny pozwala oceniać tempo wzrostu lub zaniku fragmentów układów biologicznych. Najbardziej przydatny do opisu fraktal to tak zwana suszona śliwka. Za jego pomocą można opisać sytuację, gdy rozwój lub kurczenie się powierzchni układu następuje wolniej niż zmiany wewnętrznej objętości. Temat ten był poruszany przez dr hab. Marka Rybaczuka na posiedzeniu Komitetu Mechaniki PAN.

Ciekawym i dość niekonwencjonalnym zastosowaniem fraktali jest użycie ich w budowie anten. Najwięcej problemów sprawia konstruktorom złożona natura elektromagnetyzmu. Zwykle cienki i długi kawałek drutu nie jest najlepszym rozwiązaniem. Tysiące małych anten jest rozkładanych albo nieregularnie, albo w regularnych odstępach. Fraktale są idealnym połączeniem porządku i losowości. Dzięki zgięciu drutu w kształt krzywej Kocha można zminimalizować przestrzeń przez niego zajmowaną. Motorola zaczęła używać fraktalnych anten w wielu swoich telefonach komórkowych, po czym ogłosiła, że są one o 25% skuteczniejsze niż zwykłe anteny. Magazyn Fractals wytłumaczył to zjawisko. Aby antena pracowała dokładnie na wszystkich częstotliwościach, musi być symetryczna wokół punktu, i samopodobna. Oba te warunki fraktale spełniają idealnie. Najlepszymi kształtami dla anten są trójkąt Sierpińskiego, krzywa Kocha i dywan Sierpińskiego.



W ekonomii, fraktale są wykorzystywane do przewidywania zachowania notowań akcji. Obliczenie wymiaru Minkowskiego z wykresu cen akcji daje nam możliwość analizowania trendów spółek, czyli sprawdzania, jakie mają one wahania cen. Oto przykładowe wartości wymiaru Minkowskiego dla dziesięciu spółek (dane pochodzą z Politechniki Warszawskiej):

Agora

1.22041

Orbis

1.29357

BPH

1.32618

PeKaO

1.23801

BSK

1.30203

PKN

1.23026

Netia

1.17116

Prokom

1.29859

Optimus

1.27185

TP S.A.

1.27193

Pobieranie 0.7 Mb.

Share with your friends:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14




©operacji.org 2020
wyślij wiadomość

    Strona główna