Zestaw pytań obowiązujących na egzaminie magisterskim na kierunku Matematyka



Pobieranie 15,05 Kb.
Data29.10.2017
Rozmiar15,05 Kb.

Zestaw pytań obowiązujących na egzaminie magisterskim
na kierunku Matematyka



Pytania z zakresu zagadnień podstawowych


  1. Kryteria ciągłości przekształceń przestrzeni topologicznych.

  2. Funkcje mierzalne i ich związek z funkcjami prostymi.

  3. Pojęcie miary i konstrukcja miary Lebesgue'a.

  4. Konstrukcja całki Lebesgue'a.

  5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.

  6. Pojęcia iloczynu skalarnego i normy oraz definicje przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha.

  7. Twierdzenie Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjonału liniowego i jego wybrane konsekwencje.

  8. Bazy ortonormalne w przestrzeni Hilberta i rozwinięcia ortogonalne. Zagadnienie najlepszej aproksymacji.

  9. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego i twierdzenie o residuach.

  10. Słabe prawo wielkich liczb; twierdzenie Chinczyna i klasyczne kryterium zbiezności do stałej.

  11. Mocne prawo wielkich liczb i kryterium Kołmogorowa.

  12. Centralne twierdzenia graniczne Lindeberga-Fellera i Lapunowa.


Pytania z zakresu zagadnień szczegółowych

Dyplomant wybiera jeden z działów matematyki, z którego losuje pytanie.

Topologia ogólna

1. Przestrzeń topologiczna. Metody określania topologii na zbiorze.

2. Topologia podprzestrzeni i topologia iloczynu kartezjańskiego (produktu) rodziny przestrzeni topologicznych. Twierdzenie Tichonowa o produkcie przestrzeni zwartych.

3. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu funkcji ciągłych.

4. Aksjomaty oddzielania. Lemat Urysohna.

5. Twierdzenia o metryzowalności przestrzeni topologicznych.



Teoria miary i całki

1. Miara i miara zewnętrzna, warunek mierzalności zbiorow i twierdzenie Caratheodory'ego;


σ-ciało zbiorów i zupełność miary.

2. Miara zewnętrzna Lebesgue'a i szkic konstrukcji miary Lebesgue'a.

3. Warunki mierzalności zbiorów de la Vallee-Poussina. Zbiór Cantora, zbiory borelowskie i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a.

4. Funkcje mierzalne i ich własności, związki funkcji mierzalnych z funkcjami prostymi.

5. Podstawowe własności całki funkcji prostych, konstrukcja całki Lebesgue'a.

6. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki.

7. Związki całki Riemanna z całką Lebesgue'a.

8. Produkt miar i twierdzenie Tonelliego-Fubiniego.



Analiza funkcjonalna

1. Norma w przestrzeni liniowej. Przykłady przestrzeni Banacha.

2. Przykłady operacji liniowych (w tym funkcjonałów liniowych) w przestrzeniach unormowanych. Pojęcie operacji liniowej ograniczonej.

3. Twierdzenie o rzucie na niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni Hilberta.

4. Szeregi Fouriera w przestrzeni Hilberta. Nierówność Bessela, tożsamość Parsevala.

5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności).



Analiza zespolona

1. Zbieżność szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego.

2. Zbieżność szeregu Laurenta.

3. Indeks punktu względem krzywej zamkniętej.

4. Wzór całkowy Cauchy'ego i rozwijanie funkcji holomorficznych w szereg potęgowy.

5. Całkowanie funkcji holomorficznych, twierdzenie o residuach.

6. Funkcje całkowite, twierdzenie Liouville'a i zasadnicze twierdzenie algebry.

7. Izolowane punkty osobliwe funkcji holomorficznej, rodzaje osobliwości.

8. Miejsca zerowe funkcji holomorficznej, zasada argumentu i twierdzenie Rouche'go.

Metody stochastyczne

1. Funkcje charakterystyczne i ich własności; twierdzenie Levy'ego (wzór na odwrócenie)

2. Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych; twierdzenie Levy'ego-Cramera.

3. Prawa wielkich liczb (klasyczne kryterium zbieżności do stałej i kryterium Kołmogorowa).

4. Centralne twierdzenie graniczne (twierdzenia Lindeberga-Fellera i Lapunowa).

5. Twierdzenie Radona-Nikodyma i konstrukcja warunkowej wartości oczekiwanej. Pojęcie martyngału i czasu zatrzymania.

6. Nierówność Dooba dla liczby przejść martyngału przez przedział i twierdzenie o zbieżności martyngałów.

Równania różniczkowe cząstkowe

1. Istnienie, jednoznaczność i ciągła zależność rozwiązań równania różniczkowego od warunków początkowych i brzegowych.

2. Pojęcie równania różniczkowego cząstkowego.

3. Równanie różniczkowe cząstkowe I rzędu.

4. Metody rozwiązywania równania różniczkowego cząstkowego I rzędu.

5. Równania różniczkowe cząstkowe II rzędu i ich klasyfikacja.

6. Przykłady zadań początkowych, brzegowych i mieszanych dla równań różniczkowych cząstkowych fizyki matematycznej.

7. Metody rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych cząstkowych II rzędu.



Algebra abstrakcyjna

1. Charakterystyka i ciało ułamków pierścienia całkowitego.

2. Liczby algebraiczne i liczby przestępne, twierdzenie Liouville'a.

3. Ciało rozkładu wielomianu.

4. Rozszerzenia algebraiczne ciał, elementy algebraiczne ciał, twierdzenie o elemencie prymitywnym.

5. Wielomiany symetryczne, podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych, wzory Viety.

6. Konstrukcje geometryczne a ciało liczb konstruowalnych.

7. Rozwiązalność równań algebraicznych przez pierwiastniki, twierdzenie Galois.








©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna