Zadania z logiki



Pobieranie 158,7 Kb.
Strona1/2
Data10.03.2018
Rozmiar158,7 Kb.
  1   2

Do użytku wewnętrznego

ZADANIA Z LOGIKI

LISTA nr 1



Dla danego zbioru A i każdego n > 0 , określamy operacje trywialne n – zmiennych następująco: E(x1 , ... , xn) = xi . Dla danej algebry A = j
}j J , {ak }k K > , rodziną działań algebraicznych A(A) jest najmniejsza rodzina skończenie argumentowych funkcji z A w A zawierająca wszystkie funkcje trywialne, wszystkie funkcje {Sj}j J oraz zamknięta ze względu na składanie i podstawianie wyróżnionych elementów {ak }k K .

  1. Niech A =  K> , gdzie K jest ciałem, będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Uwaga,  jest unarnym działaniem oznaczającym mnożenie przez   K . Wykazać, że A(A) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych, tj. jeśli F  A(A) jest działaniem n zmiennych, to istnieją 1 , ... , n  K takie, że F(x1 , ... , xn) = 1x1 + ... + nxn , dla każdych

x1 , ... , xn  A .

  1. Niech A = 0
    > będzie dowolną grupą abelową, gdzie – jest działaniem jednoargumentowym oznaczającym element przeciwny. Przyjmując standardowe oznaczenia

na = oraz –na =

dla dowolnego naturalnego n , udowodnić, że A(A) jest zbiorem wszystkich całkowitych kombinacji liniowych. Czyli jeśli F  A(A) jest działaniem n zmiennych, to istnieją całkowite



m1 , ... , mn takie, że F(x1 , ... , xn) = m1x1 + ... + mnxn , dla każdych x1 , ... , xn  A .

  1. Niech A = będzie kratą, tj. algebrą, w której działania binarne  i  spełniają następujące aksjomaty:

przemienność

ab = b a

ab = b a

łączność

a  (bc) = (ab)  c

a  (bc) = (ab)  c

idempotentność

aa = a

aa = a

dystrybutywność

a  (bc) = (ab)  (ab)

a  (bc) = (ab)  (ab)

Wykazać, że każda funkcja F  A(A) jest postaci

F(x1 1 , ... , x1 n , ... , xm 1 , ... , xm n) =  xi j .

  1. Przy założeniach Zadania


  1   2


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna