Światłowody kapilarne



Pobieranie 21,19 Mb.
Strona10/53
Data24.02.2019
Rozmiar21,19 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   53

2.4 Pole elektromagnetyczne i struktura modowa w refrakcyjnych światłowodach kapilarnych

Znalezienie struktury modowej SK wymaga jego analizy elektromagnetycznej. W przypadku SK uzasadnione jest przyjęcie założenia słabej propagacji modów liniowo spolaryzowanych (LP), podobnie jak dla światłowodów klasycznych. Takie przybliżenie zakłada rozprzestrzenianie się modów prostych poprzecznych LP zamiast modów hybrydowych HE i EH (o częściowo wzdłużnych składowych pola EM) uzupełnionych modami poprzecznymi TEM. Poprawność takiego założenia została wykazana analitycznie dla całej klasy profili refrakcyjnych światłowodów włóknowych tj: W, M oraz dla SK [3-5]. Koniecznym i wystarczającym warunkiem słabej propagacji jest mała różnica refrakcji w przekroju poprzecznym włókna optycznego. Jeśli tak, to jedyną wątpliwość w przypadku SK stanowi znaczna różnica refrakcji na granicy szkło-powietrze wewnątrz włókna. W SK jednomodowym o niewielkim rozmiarze otworu kapilarnego, cały obszar otworu o niskiej refrakcji oraz przyległa warstwa szkła o wysokiej refrakcji jest ‘widziany’ przez mod podstawowy takiej struktury LP01 jako rdzeń optyczny [6-10]. Ta duża, wewnątrz-rdzeniowa, różnica refrakcji nie podważa założenia słabej propagacji w jednomodowym SK, przy założeniu małego wymiaru kapilary i warstw optycznych. Charakterystyki propagacji modu podstawowego zależą nie tylko od absolutnej różnicy refrakcji ale także od średniej refrakcji fizycznej rdzenia i płaszcza optycznego. Warunki słabej propagacji są spełnione, w szczególności, w światłowodach ze szkła wysokokrzemionkowego (niskorefrakcyjnego) o małym wymiarze rdzenia.



Składowa pola elektrycznego w światłowodzie słabo propagującym ma postać:

, (1)

gdzie r,- koordynaty radialna i azymutalna w płaszczyźnie prostopadłej do osi światłowodu, z- długość mierzona wzdłuż osi światłowodu, m=0,±1,±2,...- azymutalna liczba modowa, β- stała propagacji modu związana z modową refrakcją efektywną poprzez zależność

neff=β/ko, (2)

gdzie ko=2π/λ jest liczbą falową w próżni. Definiuje się także liczbę falową w ośrodku jako ki=nio. Pominięto tu zależność pola od czasu exp(jωt), gdzie ω=cko jest częstotliwością kątową pola EM.

Radialna zależność poprzecznej składowej pola e(r) jest rozwiązaniem własnym równania Helmholtza:

(2t+n2k2-β)Ez=0, (3)

w każdym regionie profilu refrakcyjnego n(r) światłowodu SK, w postaci:



e(r)=A0Im(vr) dla r; A1Jm(ur)+A2Ym(ur) dla rcr; A3Km(wr) dla a>r>rr. (4)

Pominięto czynnik azymutalny sin(m+φ), gdzie φ- jest dowolnym stałym składnikiem fazy. Składowe pola h(r,) mają analogiczną postać z ortogonalnym czynnikiem azymutalnym cos(m+φ).

Dla światłowodu typu SKD [11] zachodzą zależności:



e(r)=A0Im(vr) dla rc, A1Jm(ur)+A2Ym(ur) dla rcr; A3Im(wr)+A4Ym(wr) dla rrd;

A5Km(sr) dla r>rd, gdzie Ai(i=0,1,2,3,4,5)=const, (5)

gdzie Jm, Ym są funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju; Im, Km są zmodyfikowanymi funkcjami Bessela pierwszego i drugiego rodzaju, m-tego rzędu. Stałe Ai są określane z warunków ciągłości składowych pól na granicach obszarów o różnej refrakcji.

Parametry modowe, które są argumentami funkcji Bessela v,u,w,s dla poszczególnych regionów refrakcyjnych w przekroju poprzecznym SK z periodycznym lub aperiodycznym rozkładem pola, są zdefiniowane jako [12]:

v22-no2ko2 jeśli no≠1, u2=nr2ko22, w22-nd2ko2, s22-np2ko2. (6)

Argumenty funkcji Bessela są interpretowane jako: u – poprzeczna stała propagacji, v, w, s – poprzeczne stałe tłumienia w obszarze otworu kapilarnego SK (lub osiowej depresji refrakcyjnej w światłowodzie pierścieniowym) i płaszcza optycznego oraz w obszarze zewnętrznym względem depresji refrakcyjnej rdzenia. Wartości pola i pochodne wartości pola w kierunku radialnym muszą być ciągłe na każdej granicy w przekroju poprzecznym SK:



e(rc-)=e(rc+), de(rc-)/dr=de(rc+)/dr, e(rr-)=e(rr+), (7)

de(rr-)/dr=de(rr+)/dr, e(rd-)=e(rd), de(rd-)/dr=de(rd)/dr. (8)

Równanie własne dyspersyjne jest formowane z tych warunków ciągłości pola. Następujące wyznaczniki macierzy muszą przyjąć wartość zero w SK, gdzie apostrof oznacza pochodną funkcji Bessela, np Im(ur)=∂I/∂r :




Im(vrc)

Jm(urc)

Ym(urc)

0

vIm(vrc)

uJm(urc)

uYm(urc)

0
(9)

= 0


0

Jm(urr)

Ym(urr)

Km(wrr)

0

uJm(urr)

uYm(urr)

wKm(wrr)

Oraz analogicznie dla światłowodu SKD:




Im(vrc)

Jm(urc)

Ym(urc)

0

0

0

vIm(vrc)

uJm(urc)

uYm(urc)

0

0

0
(10)


0

Jm(urr)

Ym(urr)

-Im(wrr)

Km(wrr)

0
= 0


0

-uJm(urr)

-uYm(urr)

wKm(wrr)

-Km(wrd)

0

0

0

0

Im(wrd)

Km(wrd)

-Km(srd)

0

0

0

wIm(wrd)

wKm (wrd)

-sKm(srd)

Stała propagacji βml i parametry falowe v,u,w,s są otrzymywane przez rozwiązanie numeryczne równania własnego dla każdej wartości azymutalnej m i radialnej liczby modowej l=1,2,3... oraz dla konkretnych parametrów refrakcyjnych i geometrycznych światłowodu. Odcięcie modowe występuje wówczas, w uproszczeniu, gdy efektywna refrakcja modu jest równa refrakcji fizycznej płaszcza, lub refrakcji ekwiwalentnej płaszcza. Poprzeczny rozkład pola jest otrzymywany z równań e(r) po określeniu wartości stałych parametrów Ai ze stałych propagacji βml.

Stosując wymiar względny rrc=rr/rc (zamiast wymiary bezwzględne r­r­, c), w wyrażeniach na pole EM, można zapisać równie własne SK w postaci analogicznej do światłowodu klasycznego, słabo propagującego mody LP

u[Jm+1(u)/Jm(u)]=w[Km+1(w)/Km(w)], (11)

czyli w postaci:



wKm+1(w)/uKm(w) = {uIm(w/rrc)[Jm+1(u)Ym+1(u/rrc)- +Jm+1(u/rrc)Ym+1(u)]+wIm+1(w/rrc)[Jm+1(u)Ym(u/rrc)-

+Jm (u/rrc)Ym+1(u)]} /{uIm(w/rrc)[Jm+1(u/rrc)Ym(u)-Jm(u)Ym+1(u/rrc)]+

+wIm+1(w/rrc)[Jm(u/rrc)Ym(u)-Jm(u)Ym(u/rrc)]}. (12)

Względna grubość pierścieniowego obszaru wysokorefrakcyjnego zawiera się w następującym przedziale wartości rrc≥1. Równanie własne SK ulega redukcji do równania własnego światłowodu klasycznego dla rrc. Wówczas znormalizowane argumenty funkcji falowych wynoszą zero. Z tego równania można oceniać podobieństwa i różnice pomiędzy światłowodem klasycznym a kapilarnym. Dla znacznej wartości rrc≈10 znormalizowana częstotliwość odcięcia modów wyższego rzędu wynosi V≈2,4, oraz u2+w2=V2 czyli jak dla światłowodu klasycznego. Dla rrc1, spełniony jest warunek V.



1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   53


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna