Badania Operacyjne, wykład 6. 2007-12-15
Szeregowanie zadań Problemy szeregowania zadań
Sformułowanie problemu:
Dany jest zbiór zadań oraz zbiór zasobów służących do wykonania tych zadań.
Należy wykonać wszystkie zadania z podanego zbioru w taki sposób, aby ekstremalizowane było określone kryterium jakości.
Przykłady zadań
- procesy montażu / obróbki detali w przemyśle maszynowym
- czynności inwestycyjne w budownictwie
- obsługa zgłoszenia
- przejazd odcinkiem drogi
- obliczenia komputerowe
Przykłady zasobów
- maszyny różnego typu
- siła robocza
- energia
- paliwo
- nakłady finansowe
- surowce
- systemy produkcyjne
- kanały obsługi
Maszyny
Maszyny to szczególny rodzaj zasobów:
- stanowią typ zasobów niezbędny dla wszystkich zadań
- każde zadanie może być wykonywane w danej chwili przez co najwyżej jedną maszynę
Ograniczeń tych nie muszą spełniać pozostałe zasoby.
Zadania
Zadanie składa się z mniejszych jednostek, tzw. operacji (w szczególności zadanie może składać się z jednej operacji).
Zadanie Jj = {O1j, O2j, ..., Okj}
Zbiór zadań J = {J1, J2, ..., Jn}
Charakterystyka zadań - parametry
oj – liczba operacji w zadaniu
pij – czas wykonywania operacji Oij (i–tej operacji zadania Jj )
rj – moment gotowości do wykonania
dj – pożądany czas zakończenia zadania (due date)
_
dj – termin krytyczny zakończenia zadania (deadline)
skj – czas przezbrojenia pomiędzy zadaniem Jk a Jj
wj - waga (priorytet)
Charakterystyka zadań
Zadania ze względu na możliwość przerywania dzieli się na:
- zadania niepodzielne (nieprzerywalne), czyli takie, których wykonywanie nie może być przerywane
- zadana podzielne (przerywalne), jeżeli przerywanie wykonywania zadania jest dopuszczalne
Charakterystyka zbioru zadań
Cały zbiór zadań J scharakteryzowany jest poprzez liczbę tych zadań n.
W zbiorze zadań mogą być określone ograniczenia kolejnościowe – rozróżniane są pod tym kątem dwa rodzaje zbiorów zadań:
- zadania niezależne, pomiędzy którymi nie występują relacje częściowego porządku
- zadania zależne, gdy występuje przynajmniej jedna taka relacja
Charakterystyka zasobów
Zasoby klasyfikowane są pod wieloma względami.
Przede wszystkim dzieli się je na:
- dyskretne, czyli podzielne w sposób nieciągły (np. maszyny w systemie produkcyjnym, siła robocza)
- podzielne w sposób ciągły (np. paliwo, energia)
Można też wyróżnić zasoby:
- przywłaszczalne (jeżeli możliwe jest odebranie konkretnej jednostki takiego zasobu operacji aktualnie wykonywanej i przydzielenie jej gdzie indziej)
- nieprzywłaszczalne
Wyróżnia się trzy podstawowe kategorie:
- zasoby odnawialne (ograniczona jest liczba jednostek zasobu dostępnych w danej chwili), np. procesor, maszyna, robot, siła robocza
- zasoby nieodnawialne (ograniczona jest globalna ilość całkowitego zużycia zasobu), np. surowce, nakłady finansowe, energia
- zasoby podwójnie ograniczone (ograniczona jest dostępność w danej chwili i zużycie łączne), np. rozdział mocy z ograniczeniem zużycia całkowitego
Każdy zasób scharakteryzowany jest poprzez następujące parametry:
- dostępność (czasowe przedziały dostępności)
- ilość
- koszt
- dopuszczalne obciążenie jednostki zasobu (najczęściej przyjmuje się, że liczba operacji/zadań, które mogą być jednocześnie wykonywane przy użyciu tej jednostki jest równa jedności)
Charakterystyka zbioru zasobów
Cały zbiór zasobów jest określony poprzez podanie:
- rodzajów elementów (jednostek zasobu)
- ogólnej liczby jednostek zasobu każdego rodzaju
Charakterystyka maszyn
Ze względu na spełniane funkcje maszyny dzieli się na:
- równoległe (uniwersalne) – spełniające te same funkcje
- dedykowane (wyspecjalizowane) – różniące się spełnianymi funkcjami
Istnieją trzy rodzaje maszyn równoległych:
- identyczne – każda z maszyn pracuje z taką samą prędkością
- jednorodne – maszyny różnią się prędkością, ale ich prędkość jest stała i nie zależy od wykonywanego zadania
- dowolne (niezależne) – czas wykonywania poszczególnych zadań na maszynach jest różny
W przypadku maszyn dedykowanych rozróżniane są następujące systemy obsługi zadań:
- przepływowy (flow-shop)
- ogólny / gniazdowy (job-shop)
- otwarty (open-shop)
System przepływowy
W systemie przepływowym każde zadanie musi przejść przez wszystkie maszyny w ściśle określonym porządku (każde zadanie składa się zatem z m operacji).
System gniazdowy
W systemie gniazdowym (ogólnym) kolejność maszyn mających wykonać operacje jest różna, ale ściśle określona dla każdego zadania (zadania mogą mieć różną ilość operacji).
System otwarty
W systemie otwartym wytworzenie każdego wyrobu wymaga operacji na wszystkich maszynach, ale kolejność ich wykonywania jest dowolna i nieustalona.
Uszeregowanie
Rozwiązaniem problemu szeregowania zadań jest uszeregowanie, czyli ustalona kolejność wykonywania operacji na poszczególnych maszynach. Natomiast zbudowanie harmonogramu to wyznaczenie momentów, w których rozpoczyna się realizacja tych operacji. W problemach, w których rozpatrywane są zasoby dodatkowe, należy również określić ich przydział.
W danym uszeregowaniu dla każdego zadania Jj można określić:
vij – sposób wykonania i-tej operacji zadania Jj (przydział do maszyn)
sij – termin rozpoczęcia wykonywania i-tej operacji zadania Jj
Sj – termin rozpoczęcia wykonywania zadania
Cj – termin zakończenia wykonywania zadania
Lj – nieterminowość zakończenia zadania
Ej – przyspieszenie rozpoczęcia zadania
Fj – czas przepływu zadania przez system
Wj – czas przestoju zadania przy przepływie przez system
Najczęściej spotykane kryteria:
Cmax – czas zakończenia wykonania wszyst kich zadań (długość uszeregowania)
Lmax – maksymalna nieterminowość
Tmax – maksymalne opóźnienie
cmax – maksymalny koszt wykonania zadania
wjCj – suma ważonych czasów zakończenia wykonania zadań
wjTj – suma ważonych opóźnień
cj – całkowity koszt wykonania zadań
Klasyfikacja ||
- opisuje zbiór maszyn M i tym samym określa typ zagadnienia
- opisuje zbiór zadań oraz dodatkowe specyficzne ograniczenia zagadnienia
- określa kryterium optymalizacji (czyli funkcję celu)
Symbol
Symbol jest złożeniem dwóch symboli 12.
1 - charakteryzuje rodzaj maszyn
2 - określa liczbę maszyn w zbiorze M
(Jeśli liczba ta nie jest określona z góry to używa się również symbolu pustego (Ø) mającego sens dowolnej liczby maszyn w systemie)
Symbol 1
P – identyczne maszyny równoległe
Q – jednorodne maszyny równoległe
R – niezależne maszyny równoległe
F – system przepływowy (flow shop)
FP – system przepływowy permutacyjny
O – system otwarty (open shop)
J – system gniazdowy (job-shop)
Ø (symbol pusty) – zbiór M zawiera 1 maszynę
Symbol
może zawierać dowolny podzbiór symboli:
setup – występują przezbrojenia
batch - porcjowanie
no wait - bez czekania
pmtn – zadania można przerywać
prec - istnieje narzucony częściowy porządek technolo-giczny wykonywania zadań (tree, outree, intree)
rj - zadania mają różne terminy zgłoszeń
Symbol
Symbol przyjmuje wartość jednej z symbolicznych postaci funkcji celu (kryterium).
Przykład: F3|rj|Cmax
Problem przepływowy - flow shop
Tw. Johnsona (1954r.)
Jeżeli w problemie F2||Cmax (dwumaszynowy problem przepływowy z kryterium minimalizacji czasu wykonania wszystkich zadań):
min { p1i, p2j } min { p2i, p1j }
to w uszeregowaniu optymalnym zadanie Ji jest wcześniej niż zadanie Jj
Algorytm Johnsona
Krok 1 : Zbuduj dwa zbiory: N1 i N2.
N1 = {Jj: p1j < p2j } N2 = {Jj: p1j p2j }
(zbiór N1 zawiera zadania, których czas pierwszej operacji jest mniejszy niż drugiej, zbiór N2 - pozostałe)
Krok 2 : Uporządkuj zbiory:
N1 - wg niemalejącej kolejności p1j
N2 - wg nierosnącej kolejności p2j
Krok 3 : Utwórz uszeregowanie optymalne łącząc uporządkowane zbiory N1 i N2
(najpierw wszystkie zadania z N1, potem zadania z N2)
Problem ogólny (gniazdowy) - job shop
Problem J2 | oj 2 | Cmax
- w problemie występują 2 maszyny
- każde zadanie składa się z jednej lub dwóch operacji
- kolejność wykonywania operacji danego zadania na poszczególnych maszynach jest określona
- minimalizowany jest czas wykonywania wszystkich zadań
Algorytm dla problemu J2 | oj 2 | Cmax
Krok 1: Podziel zadania na podzbiory:
I1 (jedna operacja wykonywana na maszynie M1)
I1,2 (pierwsza operacja na M1, druga na M2)
I2 (jedna operacja wykonywana na maszynie M2)
I2,1 (pierwsza operacja na M2, druga na M1)
Krok 2: Uporządkuj zadania w zbiorach I1,2 i I2,1 algorytmem Johnsona (w I1 i I2 kolejność dowolna)
Krok 3: Przydziel zadania do maszyny M1 w kolejności: (I1,2, I1, I2,1) , a do M2 : (I2,1 , I2, I1,2)
|