Standardy kształcenia



Pobieranie 0,49 Mb.
Strona1/8
Data15.04.2018
Rozmiar0,49 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Treści podstawowe


  1. Ciągi i szeregi liczbowe

Ciąg liczbowy jest funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N natomiast wartościami liczby rzeczywiste (lub zespolone jeśli rozpatrujemy ciągi o wartościach zespolonych).Liczbę rzeczywistą przyporządkowaną liczbie naturalnej n, oznaczamy przez

an i nazywamy n-tym wyrazem ciągu, zaś ciąg oznaczamy symbolem{an}. Aby określić ciąg podajemy wzór na n-ty wyraz ciągu, czyli an.

Aby utworzyć an+1 wyraz ciągu należy zastąpić występującą w an liczbę n przez n+1.

Ciąg ma interpretację geometryczną na płaszczyźnie OXY , jako zbiór punktów (n,an).

Ciąg może być:

a) rosnący jeżeli an+1> an dla każdego n∈N

b) niemalejący jeżeli an+1≥ an dla każdego n∈N

c) malejący jeżeli an+1< an dla każdego n∈N

d) nierosnący jeżeli an+1≤an dla każdego n∈N

Ciąg jest monotoniczny , jeżeli spełnia co najmniej jeden z powyższych warunków, z tym, że ciąg rosnący jest także niemalejący, zaś ciąg malejący jest także nierosnący. Ciągi rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi. Ciągi które nie są monotoniczne nazywamy niemonotonicznymi.

Ciąg jest ograniczony z góry  jeżeli wszystkie jego wyrazy są mniejsze (lub równe) od pewnej liczby M. 

Ciąg jest ograniczony z dołu jeżeli wszystkie jego wyrazy są większe (lub równe) od pewnej liczby M.

Ciąg jest ograniczony  jeżeli jest ograniczony z góry i z dołu.

Wśród ciągów liczbowych wyróżnia się dwa szczególne rodzaje ciągów: ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny.

Ciąg arytmetyczny an jest to ciąg liczbowy, którego wyrazy spełniają warunek an+1-an=r (r – różnica ciągu) – kolejne wyrazy ciągu różnią się o tę samą wartość.

Ciąg geometryczny – posiada iloraz ciągu – an+1/an=q.
Szeregiem nazywa się ciąg sum częściowych. (sumy częściowe można zdefiniować dla nieskończonego ciągu).Szereg może być zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych ma skończoną granicę, inaczej – rozbieżny.



  1. Szeregi funkcyjne


Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej - w fizyce i technice - ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus - tzw. harmonik

szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych.

szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji.

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci



Jest on zbieżny dla każdego -1<x<1 do (sumy):





Jeżeli przyjąć dla jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.





  1. Pochodne i ekstrema funkcji wielu zmiennych


Pochodna – w analizie matematycznej miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów.

Ekstremum lokalne – minimum lub maximum lokalne (najwyższa wartość funkcji w określonym przedziale)

W przypadku funkcji wielu zmiennych np. dwóch ekstrema lokalne wyznaczamy w następujący sposób:

Wyznaczamy dziedzinę

Wyznaczamy pochodne pierwszego rzędu (f’(x) i f’(y) dla dwóch zmiennych)

Zestawiamy je w macierz przyrównując do 0, obliczamy i sprawdzamy czy rozwiązania należą do dziedziny. Te, które należą – to punkty stacjonarne – potencjalne ekstrema lokalne

Dalej wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, zestawiamy je w macierz

Obliczamy jej wyznaczniki i określamy czy w punktach stacjonarnych rzeczywiście funkcja osiąga ekstremum (wyznacznik <0 ekstremum brak)





  1. Całka nieoznaczona i oznaczona

Całka oznaczona – intuicyjnie: pole powierzchni między wykresem funkcji w pewnym przedziale , a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.
Całka nieoznaczona (albo funkcja pierwotna) – pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (rodzina funkcji pierwotnych danej funkcji). Całkę oznaczoną na przedziale można też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach oraz . Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.

Całka niewłaściwa (-∞, ∞): jeśli dla danej funkcji istnieją i są zbieżne całki (a, -∞) i (∞, a).


  1. Zagadnienie Cauchy'ego

Zagadnienie Cauchy'ego (zagadnienie początkowe) – w matematyce, zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania stopnia pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania stopnia drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższego stopnia.



  1   2   3   4   5   6   7   8


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna