R człon całkujący idealny (wykonuje operację odwrotną) :. Równanie różniczkowe we – wy



Pobieranie 119,79 Kb.
Data14.02.2018
Rozmiar119,79 Kb.



WYKŁAD 6

24.11.2005 r


CZŁON CAŁKUJĄCY IDEALNY

(wykonuje operację odwrotną) :

.

Równanie różniczkowe WE – WY: y = ku
K – współczynnik wzmocnienia prędkościowego, określany jako stosunek pochodnej odpowiedzi y do wymuszenia u w czasie ustalonym.
Charakterystyka skokowa (stała): h(t) = k t 1(t)
Odpowiedź impulsowa (pochodna): g(t) = k 1(t)
K

Transmitacja: g(‘s) =

S’

Przykłady:



ZBIORNIK Z CIECZĄ

We – objętość cieczy dopływająca jednostce czasu ( g(t) )

Wy – poziom cieczy

G(t) d V(t)

G(t) =

dt

str. dopływający Szybkość narastania



objętości
wys. Słupa wody: h(t) * S = V(t)

d h(t)


S = g(t)

dt

t



h(t) = 1/s ∫ g(t) dt

0



2. Kondensator idealny.

3. Układ napędowy pozycyjny.

CZŁON CAŁKUJĄCY Z INERCJĄ

.. .

Równanie różniczkowe WE – WY: Ty + y = ku
K – współczynnik wzmocnienia prędkościowego określany jako stosunek pochodnej odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym

T – stała czasowa


y(t) = k · u(t)
y = k · u G(s) = k

dy

T · dt + y = k · u


. k


T · y G(s) = Ts + 1

. .


y = k · u y = k · u G(s) = k · s

. .


y = k · · u · dt Ty + y = k · u

. k · s


T y + y = k ·  · u · dt G(s) = Ts + 1

.. n=


Ty + y =k · u

Charakterystyka skokowa:

t

h(t) = (kt – kT ( 1-exp [- ] ) ) 1(t) układ będzie dążył do całki

idealnej.

T
Odpowiedź impulsowa:


t

h(t) = k [ 1-exp [- ] ] 1(t)

T

K

Transmitacja: g(s) =



S(1+sT)

Przykłady:

1. OBCOWZBUDNY SILNIK PRĄDU STAŁEGO

Założenia: silnik nieobciążony, uwzględniamy tylko bezwładność

We – napięcie twornika

Wy – kąt położenia wału silnika



Ω(t) (WY – położenie kątowe)

α(t)

Ø – strumień jednego z uzwojeń

Const


DI(t)


U(t) = Rt * I(t) + Lt E(t)

dt

pomijam(małe)


dΩ(t)

Mn(t) – Mz(t) = I Mn(t) = Cm * Ø * I(t)

dt
Chcemy powiązać 2 wielkości: α(t) i U(t)
d α(t)

= Ω(t) No i manipulujemy, aby była zależność α(t) do U(t)

dt

dΩ(t)


Cm Ø Ω(t) * I(t) = J

dt
U(t) = Rt * I(t) + CE Ø Ω(t)


J dΩ(t)

I(t) = *

CM Ø dt
Rt * J d2 α dα

U(t) = * + CEØ

CmØ dt2 dt

CZŁON INERCYJNY:

(piec)
(Jak funkcja określona w czasie

I – pochodna mówi o prędkości zmian

II – pochodna o przyspieszeniu)

.

Równanie różniczkowe WE/WY: Ty + y = ku
k – współczynnik wzmocnienia określany jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym.

Tstała czasowa.
Charakterystyka skokowa:
h(t) = k( 1 – ex [(-1)/T]) 1(t)

Odpowiedź impulsowa:



g(t) = K/T ex [(-1)/T] 1(t)
Transmitacja:

k



Gs =

1 + sT

kierunek przepływu prądu



**Przykład 1:

CZWÓRNIK RC

Nieobciążony.


Uwe(t) = RI(t) + 1/C ∫ I(t) dt

Uwe(t) = RI(t) + Uwy(t)



Uwy(t) = 1/C ∫ I(t) dt
d Uwy(t) 1

= * I(t) tj. funkcja czasu

dt C


RC d Uwy

Uwe(t) = . * + Uwy

T y + y dt
Oznacza to, że jak włącze napięcie na WY nie pojawi się niezwłocznie, tylko będzie narastać.

Im stała czasowa mniejsza, tym szybciej zostanie osiągnięty stan przez WY.


**Przykład 2:

ELEMENT GRZEWCZY:

P – moc jest funkcją czasu P(t); energia dostarczana do grzejnika

dt – mały czas (delta t) energia ta rozkłada się na ciepło

dodawane i wydalane




P(t)dt = c*m *d Θ(t) + α S Θ dt α – stała

S – powierzchnia grzejnika

Θ – ilość ciepła proporcjonalna do

To co się kumuluje to co się rozprasza temp, zmienia się w czasie

w grzejniku
Mamy bilans cieplny:
P(t)dt = c*m*d Θ(t) + αS*Θ(t) dt

1 c*m d*Θ(t) .

* P(t) = * + Θ(t) k*u(t) = T * y + y

α*S α * S dt


**Przykład 3:

GENERATOR

PRĄDU STAŁEGO
Nieobciążony
Iu(t) – prąd wzbudzenia
d*I*w(t)

L + R*I*w(t) = Uw(t)

dt
d*E(t) d*I(t)

= K


dt dt
L d*e(t) R

* + E(t) = Uw(t)

K dt K

Podsumowanie:

Co uzyskujemy?

Układy o różnych naturach podlegają pod te same równania jak odrzuce skale i jednostkę MATEMATYKA jest wszędzie.

CZŁON INERCYJNY II RZĘDU
Równanie różniczkowe: T1T2y’’ + T1yt’ + y = ku

Lub


TATBy’’ + (TA+TB) y’ + y = ku
K – współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u w stanie ustalonym.

T1T2TATB – stałe czasowe.

K

Transmitacja: G(s) =

T1T2S2 + T1S + 1


Lub

K

G(s) =



TATBS2 + (TATB) s + 1
T1 – 4T2 >=0 __

____ 1 √T1

TB = √T1T2 , S = __

2 √T2


_____ TA + TB

T0 = √TATB , ζ = _____ , K = KA - KB

2 √TATB
KA

G1(s) =

1 + STA
KB

G2(s) =

1 + STB
Przykład: CZWÓRNIK R,C,
dI(t) 1 t

Uwe(t) = R * I(t) + L + ∫ I(t)dt

dt c 0

1 t dUwy

Uwy(t) = ∫ I(t) dt c = I(t) różniczkuje raz jeszcze



C 0 dt
dUwy d2Uwy d2Uwy dI

Uwe(t) = RC * + L C + Uwy C = =

dt dt dt dt

To czy układ będzie inercyjny II rzędu, czy oscylacyjny zależy od parametrów



CZŁON OPÓŹNIAJĄCY
Równanie różniczkowe: y(t) = ku( t – T0)
K – współczynnik wzmocnienia określony jako stosunek odpowiedzi y do wymuszenia u dla

t >T0

T0 – czas opóźnienia

Charakterystyka skokowa:

h(t) = k 1(t – T0)



Odpowiedź impulsowa:

g(t) = kδ(t – T0)



Transmitacja:

g(s) = ex (-sT0)




Charakterystyką(Odpowiedzią) skokową:

H(t) jednowymiarowego układu (obiektu) liniowego stacjonarnego, nazywać będziemy odpowiedź tego układu na wymuszenie w postaci jednostkowej funkcji skokowej 1(t), przy zerowych warunkach początkowych.




←impuls



Charakterystyką( Odpowiedzią) Impulsową

G(t)liniowym układu( Obiektu) liniowego, stacjonarnego nazywać będziemy odpowiedź tego układu na wymuszenie w postaci funkcji Diraca (t), przy zerowych warunkach początkowych.



δ(t) ←impuls o nieskończonej amplitudzie, duży impuls,

o dużym czasie trwania.


Transmisją operatorową:

G(s) liniowym układu (Obiektu) liniowego stacjonarnego nazywać będziemy wartość określoną jako stosunek transformaty wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach początkowych. G(s) =Y(s) / U(s)

U1(t) Y1(t)

= 2 sin 3t U3(t) =2t + 3

Y3(t)

U1(t) U1(s) - transformata



Y1(t) Y1(s)
Y1(s) Y2(s) Y3(s)

U1(s) = G(s) = U2(s) = U3(s) transformacja


zadanie analizy

U(t) Y(t)


U(t) = dane

Y(t) = ?

opis obiektu = równanie różniczkowe
y(t)= ….

Rachunek operatorowy
U(t) U(s)
opis obiektu = transmitancja G(s)
Y(s) = G(s) · U(s)

Y(s) Y(t)



Idea rachunku operatorowego

Mamy problem w dziedzinie czasu


Równanie L równanie wyznaczanie L wyznacznie

Dla orginału dla obrazu obrazu oryginału

Przykład: dI(t)

U *1(t) = R*I(t) + L

dt


równanie obrazu bo oper, różniczkowemu

odpow. mnożenie przez s.

*U1/s = R * I(s) + L*s*I(t)
u 1

I(s) = *

S R*SL

Rozw w dziedzinie Laplace’a

Faza końcowa – wyznaczenie oryginału.
1 K/R U/R

= 1/s + = -

s+R/L S s + R/L

I(t) = U/R * (1 – e-(R/L)*t) * 1(t)


pisane


TRANSMITACJA OPERATOROWA:
Transformata Laplace’a:

F(s) = ∫ f(s) e-st = L[ f(t) ]



0
Orginały Laplace’owskie ( f(t) będzie orginałem, jak spełni 3 warunki):
1. f(t) = 0 t<0 Obserwacje prowadzimy w przód, nie bierzemy pod uwagę

przeszłości.


2. Funkcja ciągła i monotoniczna przedziałami.
3. f(t) <= m* e αt Można zrobić na funkcjach , które rosną, ale nie szybciej jak funkcja wykładnicza( np. et)2 nie da się jej ograniczyć);
Własności transformaty Laplace’a:
1. Złożenie dwóch operacji
L-1[L(f(t))] – f(t) , L[L-1(F(s))] = F(s)
α(1(t)) = 1/s , α-1(1/s) = 1(t)
1 1

L( e-αt * 1(t)) = , L-1 ( ) = e-αt * 1(t)

S+α S+α
Funkcje określam dla czasu T = 0
2. Liniowość:

Obowiązuje zasada superpozycji( odpowiedź na wymuszenie jest odpowiedzią na sumę tych wymuszeń.


L [a1f1(t) + a2f2(t)] = a1L[f1(t)] + a2L[f2(t)]
Przykłady:
( ejωt = cos ωt + j sin ωt)

( e-jωt = cos ω – j sin ωt)

1

sin ωt = ( ejωt – e-jωt)



2j

1 1 1 1 2jω ω

L { sin ωt * 1(t) } = ( - ) = * =

2j s-jω s+jω 2j s2 + ω2 s2 + ω2





ω

L { sin ωt } =

s2 + ω2

4

sin 4t =

s2 + 16
1 3

L-1 ( ) = L-1 ( ⅓ * ) = ⅓* sin 3t



s2 + 9 s2 + 9



©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna