Pomiar kwantowy



Pobieranie 57,4 Kb.
Data21.11.2017
Rozmiar57,4 Kb.

Pomiar kwantowy


Jednostka informacji kwantowej jest qubit(quantum bit) bit kwantowy, czyli dowolny dwustanowy kwantowy uklad fizyczny. W przeciwienstwie do klasycznego bitu, który przyjmje tylko dwie wartosci 01, qubit oprocz analogicznych stanow |0> |1>dopuszcza ich superpozycje:

|> =A0|0>+A1|1>, gdzie |A0|2+|A1|2=1 (A-amplituda)

Dwa stany ukladu |0> |1> tworza baze standardowa {|0>,|1>}

Przyklady ukladow dwustronnych – spin elektronu – foton o dwoch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji

|>=A0|0>+A1|1>

pomiar w bazie{|0>,|1>} daje: stan

|0> z prawd. |A0|2

|1> z prawd. |A1|2

qubit |(t)>=A0(t)|0> +A1(t)|1> ewoluujac w czasie reprezentuje jednoczesnie dwa stany bazy: |0> i |1>

pomiar kwantowy w bazie{|.....} powoduje przejscie qubitu do jednego ze stanow bazowych (tzw. redukcja stanu kwantowego)



foton w stanie pion. Przechodzi przez polaryzator pion z prawdop.=1 i pozostaje w pionie



foton w poziomie nie przechodzi przez polaryzator poionowy(prawd=0)



w stanie „sranie” przech przez polaryzator pionowy i ustawia się pionowo z prawd |A()|2



przez poziomy ustawia się poziomo z prawd |A()|2

Pomiar kwantowy nieodwracalnie zmienia stan qubitu. Pomiedzy pomiarami qubity mogą ewoluowac odwracalnie

Ewolucja ukladow kwantowych


Informacje kwantowa(qubit) można przetwarzac stosujac 2 podstawowe operacje:

- pomiar kwantowy

- transformacje unitarna

|0>  -----[U]-------  a1|0>+a1|1>


Podstawowa cecha transformacji unitarnej jest liniowosc dzialajaca na każdy czlon superpozycji z osobna:

U(a|>+b|>) = aU|>+bU|>

Ewolucja kwantowego ukladu izolowanego jest unitarna:

|t=0> --[U]-- |t>0>

Pomiedzy pomiarami qubity moga ewoluowac w sposob odwracalny.

Plytka swiatlodzielaca tworzy superpozycje stanu. Foton padajacy droga 0 z prawd ½ zostanie zarejestrowany przez detektor 0 lub det. 1. pomiar niszczy superpozycje





Stany depresyjne i splatane ale nie zjednoczone


Istnieja zjawiska, podczas których generowana jest para czastek zwiazanych zwiazanych splecieniem kwantowym. Maja one przeciwne stany(poziomo drugi pionowo), ale nie wiemy który jest który. Mierzac stan jednego jestesmy tylko pewni, ze drugi jest przeciwny.

Stan a|00> + b|11> nazywa się splatanym.

Przykład: klasycznie na przechowywanie 4 liczb potrzebujemy 4 rejestrow 2bitowych – kazda liczba w innym rej. Ale qubity mogą być w superpozycji np.

|//>=1/sqrt2( |0>+|1>)  1/sqrt2( |0>+|1>)=1/2(|00>+|01>+|10>+|11>=1/2(|0>+|1>+|2>+|3>)

4 liczby w jednym rejestrze! Wszystkie z jednakowymi amplitudami.

Gdybysmy dysponowali rejestrem kwantowym zlozonym z N qubitow to moglibysmy w nim przechowac 2N liczb.

Komputer kwantowy wykonuje operacje na calym rejestrze, czyli na wszystkich 2N liczbach jesnoczesnie(kwantowy paralelizm).przypuscmy, ze udalo nam się utworzyc rejestr dwubitowy w stanie:

|-> = 1/sqrt2(|01>-|10> = 1/sqrt2(|1>-|2>)

taki stan nie daje się zapisac w postaci iloczynu 2 qbitow.

Splatane qbity tworzace stany bella:

|> = 1/sqrt2(|00>+|11>) = |+>

|> = 1/sqrt2(|01>+|10>) = |+>

|> = 1/sqrt2(|01>-|10>) = |->

|> = 1/sqrt2(|00>-|11>) = |->

Wyobrazmy sobie, ze mamy 2 splatane qbity w stanie bella:

|-> = 1/sqrt2(|01>-|10>) (para EPR)

przsylamy jeden qbit do alicji (dol) a jeden do bolka(gora). Alicja dokonuje pomiaru na swoim qbicie:

|0><0|: |-> = 1/sqrt2(|01>-|10>)  |01>

|1><1|: |-> = 1/sqrt2(|01>-|10>)  |10>

pomiar wykonany na qbicie alicji zmienia stan qbitu bolka. Bolek wykonujac pomiar na swoim qbicie otrzyma wynik przeciwny od alicji jakkolwiek daleko bylby oddalony ad alicji. Po wykonaniu pomiaru lokalnego przez alicje obydwa wbity przestaly być splatane.

Jak uzyskac stan splatany:

1/sqrt2(|0>-|1>)

____

-----| |--



|cnot | |> = 1/sqrt2(|01>-|10>)  stan splatany

|1> |____|--


bramka hadamarda i cnot pozwalaja przejsc z bazy standardowej do bazy bella

Operator gestosci


Każdy stan ukladu kwantowego jest reprezentowany przez operator gestosci 

Op. Gestosci jest samosprzezony (+=), nieujemny ( <|> >= 0 dla kazdego |>) operator o sladzie Tr {}=1.

Stany opisane przez operatory gest., które sa jednoczesnie operatorami rzutowymi nazywamy stanami czystymi.

Z warunkow spelnianych przez operatory g. Wynika, ze operator rzutowy opisujacy stan czysty jest operatorem rzutowania na jednowymiarowa podprzestrzen(kierunek) przestrzeni hilberta.

Można wiec opisac stany czyste także przez wektory w przestrzeni hilberta z tym ze wszystkie wektory rozniace się czynnikiem fazowym reprezentuja ten sam stan. Wszystkie pozostale stany to stany mieszane.

Operatory gestosci stanowia zbior wypukly. Można je do siebie dodawac po pomnozeniu przez dodatnie wspolczynniki sumujace się do jednosci bez naruszania warunkow nakladanych na te operatory. Stany czyste leza w naroznikach zbioru wypuklego



Przestrzen hilberta rzeczywista lub zespolona przestrzen liniowa z iloczynem skalarnym (przestrzen unitartna) np. zbior liczb rzecz. Z mnozeniem jako il skalarnym – zb wektorow na plaszczyznie ze zwyklym il skalaranym

Geste kodowanie


Zalozmy, ze alicja chce przeslac bolkowi 2 klasyczne bity iformacji. Przesylanie 2 botow informacji to przesylanie 1 z 4 liczb 00 01 10 11. majac do dyspozycji kanal kwantowy można to zrobic przesylajac tylko jeden qbit.

Alicja posiada zatem 2 bity, które chce przeslac i jeden qbit pary EPR:

1/sqrt2(|01>-|10>) (1/sqrt2 – stan maksymalnie splatany).

Protokol kodowania gestego.

* alicja wykonuje operacje na swoim qbicie w zaleznosci od wartosci bitow b1 i b2


B1

b2

Operacja wyk przez ale

0

0

1/sqrt2(|00>+|11>) (I)

0

1

1/sqrt2(|10>+|01>) (NOT)

1

0

1/sqrt2(|00>-|11>) ()

1

1

1/sqrt2(|10>-|01>)

* alicja przesyla swój qbit bolkowi

* bolek wykonuje na obu qbitach bramke kwantowa zdefiniowana przez macierz

1/s2 0 0 1/s2

0 1/s2 1/s2 0

1/s2 0 0 –1/s2

0 –1/s2 1/s2 0

*bolek po wykonaniu operacji otrzymuje wartosci bitow b1 i b2

zatem przesylajac 1 qbit można przeslac 2 bity klasyczne
kwantowa teleportacja

alicja jest w posiadaniu qbitu a|0>+b|1>,który chce teleportowac. Teleportacja jest możliwa, jeżeli obie strony posiadaja qbity splatane ze soba np. 1/sqrt2(|00>+|11>). Przyjmijmy, ze lewy qbit należy do alicji, a prawy do bolka. Stan zlozonego ukladu ma postac:

(a|0>+b|1>) * 1/s2(|00>+|11>) = a/s2|0>|00> + a/s2|0>|11> + b/s2|1>|00> + b/s2|1>|11> = a/s2|000> + a/s2|011> + b/s2|100> + b/s2|111>.

Protokol teleportacji:

- alicja wykonuje na swoich qbitach operacje sterowanej negacji

a/s2|000> + a/s2|011> + b/s2|110> + b/s2|101>.

- ta sama alicja wykonuje transformate hadamarda-walsha na lewym qbicie

a/s2*1/s2(|0>+|1>)|00> + a/s2*1/s2(|0>+|1>)|11> + b/s2*1/s2(|0>-|1>)|10> + b/s2*1/s2(|0>-|1>)|01> = a/2|000> + a/2|100> + a/2|011> + a/2|111> + b/2|010> - b/2|110> + b/2|001> - b/2|101>

- wydzielamy qbit boba

½|00>a|0> + ½|10>a|0> + ½|01>a|1> + ½|11>a|1> + ½|01>b|0> - ½|11>b|0> + ½|00>b|1> - ½|10>b|1> = ½|00>(a|0>+b|1>) + ½|01>(a|1>+b|0>) + ½|10>(a|0>-b|1>) + ½|11>(a|1>-b|0>)

- alicja przeprowadza obserwacje stanu swoich 2 qbitow i przesyla jej wynik do boba(droga klasyczna)

- jeżeli bob otrzymal 00 nie musi nic robic, jego qbit jest już w stanie a|0>+b|1>

- jeśli otrzymal 01 wykonuje na swoim qbicie operacje negacji

- jeśli 10 zmiane fazy

- jeśli 11 negazji a nastepnie zmiane fazy.

Charakterystyka TK

- Informacja nie jest przesylana z pred. Nadswietlna

- przekazu informacji nie da się niepostrzezenie podsluchac, bo choc można przechwycic informacje przesylana droga klasyczna to przechwytujac foton wysylany do bolka nie da się odtworzyc jego poprzedniego stanu. Zatem bolek zauwazy kradziez informacji

- calosc można uznac za teleportacje, bo u bolka uzyskalismy foton, który był uprzednio u alicji

- nie jest to jednak klonowanie, bo foton u alicji utracil swój stan.



Algorytm dojcza


Mamy funkcje f, która dziala na zbiorze 2-elementowym {0,1} i daje w wyniku również 2 możliwe wartosci {0,1}. Zalozmy, ze posiadamy czarna skrzynke (wyrocznie) obliczajaca ta funkcje. Chcielibyśmy dowiedziec się czy funkcja ta jest stala czy roznowartosciowa. W przypadku klasycznym musimy dwukrotnie zastosowac wyrocznie, by odp. Na to pytanie (czyli musimy obl f(1) i f(0)). Zast. Kompa kwantopwego i alg. Dojcza daje mozliwosc uzyskania odp. Przy jednokrotnym pytaniu.

Możliwe przypadki



X

F00(x)

F11(x)

F01(x)

F10(x)

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0




F stala

F roznowart

Rozwiazane to jest w ten sposób ze mamy 2 wejscia do skrzynki – jedno czyste, a drugie jest superpozycja stanow czystych 0 i 1. wyjscia tez sa 2

|0>-[H]-| |-[H]-0-stala 1-rozn.

|0>------| |-[H]-0-odrzut 1-ok.

najpierw sprawdzamy jaki stna otrzymalismy na wyjsciu 2, jeśli |0> to uznajemy wynik za nieudany, jeśli |1> to udany (50% skutecznosci). Jeśli pomiar się udal to sprawdzamy 1 wyjscie i jeśli |0> to f. Stala a jeśli |1> to roznowart.

Cleve przedstawil uklad o 100% skutecznosci, zmienil drugie wejscie, dzieki czemu na drugim wyjsciu zawsze pojawiala się |1>

|0>----[H]-| |-[H]-

|0>--[H]-| |-[H]-


algorytm grovera

w 96 r. Grover przedstawil kwantowy algorytm przeszukiwania tablic danych w czasie prporcjonalnym do pierwiastka z czasu potrzebnego klasycznym kompilatorem do wykonania tego zadania{0,...,N-1} f{0,1}, gdzie klasa funkcji fj(x)=jx= {0 x=/j 1 x=j}

dana mamy funkcje przyjmujaca 2 wartosdci{0,1} i dzialajaca na zbiorze X. Tylko dla jednego x f(x)=1. w przypadku klasycznym, aby znalezc tablice x0, taka,ze f(x0)=1 nie majac zadnych informacji o strukturze zbioru X musimy zadzialac funkcja f na każdy z argumentow zbioru Xw najgorszym przyp N(-1??) razy. Komp kwantowy daje mozliwosc obliczenia przez zastosowanie superpozycji funkcji f dla wszystkich x nal. do X w jednym kroku {0,...,N-1}f{0,1}

w alg. Grovera stosowana jest technika zwana wzmocnieniem fazy, która pozwala zwiekszyc amplitude elementu, którego szukamy. Alg gr. Sklada się z 2 glownych procedur: wyroczni i obrotu wokół sredniej.

WYROCZNIA

Funkcja, która zaznacza pewien okreslony element. Nia ma znaczenia w jaki sposób ten element będzie oznaczony, jednak w ag odbywa się to poprzez zmiane znaku amplitudy stanu



przed i po wyroczni



Aby wyroznic poszukiwany element stosujemy operator obrotu wokół sredniej


srednia przed i po zaznaczeniu elementu


obrot wokół sredniej=1/4

ax=+x

-x=2 -ax
jednak w przypadku b. Duzej liczby elementow srednia po zaznaczeniu nieznacznie się zmieni i amplitudy pozostalych nieszukanych elementow nie wyzeruja się. Problem ten rozwiazuje metoda iteracji, czyli wielokrotnego powtarzania tego samego kroku (obliczania
sredniej i obrotu wokół niej

ax=1/sqrtN



=(N-2)/(N*sqrtN)
ax=/j = (N-4)/N*sqrtN

ax=j = (3N-4)/N*sqrtN

(3-4/N)2/N n do niesk. 0
algorytm szora

sluzy do faktoryzacji duzych liczb. Niech N będzie liczba, która chcemy sfaktoryzowac

1) spr czy N jest parzysta

2) czy N jest kwadratem l pierwszej (alg klasyczny)

3) wybieramy losowo x należy {1,...,N-1} i znajdujemy NWD(x,N) (alg klas)

4) jeśli NWD(x,N)=1 to znajdujemy rzad x modulo N – najmniejsza liczbe r należy Z+ taka, ze xr mod N =1 (alg klas)



5) jeśli r jest parzyste i (xr/2+-1) mod N =/ 0, to obliczamy NWD(xr/2-1,N) i NWD(xr/2+1,N) (alg klas)



©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna