Modelowanie procesów biomedycznych



Pobieranie 178,25 Kb.
Strona4/4
Data14.02.2018
Rozmiar178,25 Kb.
1   2   3   4

Systemy i modele kompartmentowe


Kompartment to przestrzeń, w której wyróżnić można pewną formę materii (energii) i wobec której obowiązuje prawo zachowania masy (energii). Na ogół ilość substancji określa się na podstawie pomiaru jej stężenia w wyróżnionej przestrzeni. Aby obliczyć ilość substancji, niezbędna jest znajomość objętości dystrybucji V kompartmentu. Zakłada się, że substancja jest w kompartmencie jednolicie rozmieszczona. Objętość dystrybucji traktuje się jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy ilością substancji a jej stężeniem. Objętość dystrybucji wiąże się ze znaną średnią objętością płynów ustrojowych, np.: przyjmuje się, że ilość krwi krążącej, wyrażona w litrach, to 7.5% wagi ciała wyrażonej w kg.

W systemach połączonych kompartmentów mogą występować przepływy dwukierunkowe. Niekiedy kompartmenty zawierają różne substancje, a wtedy przepływy między nimi dotyczą biotransformacji, a nie transportu materii. Nie wyklucza się możliwości istnienia różnych substancji w tym samym kompartmencie.



Przy założeniu stałej objętości, liniowości i stacjonarności i-tego kompartmentu jego dynamika opisana jest liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu:



gdzie: to ilość, stężenie lub aktywność w przypadku znakowania substancji. Wynik pomiaru zmiennej stanu nazywa się sygnałem wyjściowym, odpowiedzią . Wielkości to stałe współczynniki, to zewnętrzny sygnał pobudzający i-ty kompartment. Równanie zobrazowane jest na rysunku. Przedstawiono na nim kompartmenty i oraz j, stanowiące część pewnego systemu, ich wzajemne połączenia i sprzężenia z otoczeniem, czyli z kompartmentem zerowym. Dotyczą one kinetyki pierwszego rzędu i sterowania donorowego. Wielkość nosi nazwę strumienia. W przypadku sterowania donorowego strumień ten, skierowany od dawcy w j-tym kompartmencie do biorcy w i-tym kompartmencie, zależny jest od zmiennej stanu xj w kompartmencie dawcy.

Oznaczenia dla przepływów w strukturze kompartmentowej


Stałe porządkuje się tworząc kwadratową macierz o wymiarze , oraz macierz wierszową o n elementach. Wszystkie elementy tych macierzy są nieujemne, oraz każde . Założenie, iż jest zawsze zerowe oznacza, że badana substancja nie jest kreowana ani unicestwiana wewnątrz kompartmentu. Sposób tworzenia macierzy ilustruje przykład:


Macierze dla przykładowego systemu 4-kompartmentowego.


Opis dynamiki systemu w kategoriach wejście-stan-wyjście jest następujący:



Wielkości x , u , y to, odpowiednio, wektory stanu, wejścia i wyjścia. Wektor stanu systemu to kolumnowy wektor ilości, stężenia lub aktywności substancji znakowanej w poszczególnych kompartmentach. System składający się z n kompartmentów opisany jest za pomocą n zmiennych stanu. Wejścia i wyjścia systemu rozumiane są jako miejsca dostępu do poszczególnych kompartmentów. Liczba wejść i wyjść jest ograniczona z góry przez liczbę kompartmentów. Wektor u zawierać może niezerowych składowych sygnału wejściowego, a wektor y zawierać może niezerowych składowych sygnału wyjściowego.

Macierze to odpowiednio macierz układu, macierz wejściowa i macierz wyjściowa. Elementy macierzy A związane są z elementami macierzy K i wektora : wszędzie, poza główną przekątną, elementy macierzy A i K są identyczne. Na głównej przekątnej macierzy A znajduje się, ze znakiem minus, suma wszystkich przepływów z danego kompartmentu do otoczenia i przepływów do wszystkich innych kompartmentów:



Macierze B i C to macierze zero-jedynkowe. Ich elementy leżące poza główną przekątną są zerowe, a elementy z głównej przekątnej mogą przyjmować wartość 1 lub 0. Precyzuje to zależność:



,

gdy i-ty kompartment jest pobudzany (obserwowany)

gdy i-ty kompartment nie jest pobudzany (obserwowany).

2018-02-14


1   2   3   4


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna