Modelowanie procesów biomedycznych



Pobieranie 178,25 Kb.
Strona3/4
Data14.02.2018
Rozmiar178,25 Kb.
1   2   3   4

Modelowanie empiryczne


W przypadku systemów biomedycznych, wiedza na temat istoty zjawisk, ich składowych i sposobów oddziaływania między nimi, jest często niewystarczająca do utworzenia równań różniczkowych lub algebraicznych opisujących mechanizm działania. W takiej sytuacji pozostaje badanie zjawiska z zewnątrz. Badany proces przedstawiony zostaje w postaci tzw. czarnej skrzynki symbolizującej nieznany mechanizm działania. Obserwowane jest wejście i wyjście takiego obiektu. W biologii i w medycynie jest to często jedyne możliwe podejście. Modelowanie polega w tym przypadku na przedstawieniu matematycznego opisu odpowiedzi badanego systemu, a nie opisu jego funkcjonowania. Tak powstałe równanie modelu jest równaniem empirycznym, a więc nie jest unikalne.

Istnieje wiele metod opisu biomedycznych danych empirycznych. Na szczególną uwagę zasługują równania empiryczne, funkcje sklejane, technika zwana samomodelowaniem (ang. self-modelling) funkcji regresji, funkcja przenoszenia, całka splotowa i metoda skończonych poziomów.



Równania empiryczne, krzywe dopasowujące

Najprostszym rodzajem krzywej, jaką można poprowadzić przez punkty pomiarowe w celu interpolacji, jest wielomian stopnia n: . Wartości parametrów dobiera się tak, aby możliwie ściśle dopasować wielomian do punktów pomiarowych. Istnieją właściwe dla tego celu techniki komputerowe bazujące na minimalizacji sumy kwadratów odchyłek punktów pomiarowych od krzywych analitycznych. Pozwalają one na optymalny, w sensie obranego kryterium, dobór wartości . Stopień wielomianu dobiera się w zasadzie arbitralnie, kierując się jednak zasadą, że najlepszy jest najprostszy z opisów dających wymaganą wierność odwzorowania danych doświadczalnych.

Wielomiany nie dają jednak dobrego opisu relacji w systemach biologicznych. Lepsze do tego celu są krzywe postaci: . W tym przypadku, podobnie jak poprzednio, równanie empiryczne nie jest jedynym możliwym sposobem opisu danych doświadczalnych, nie jest unikalne.

W ogólności należy być ostrożnym w nadawaniu parametrom równania empirycznego interpretacji fizjologicznej. Wyjątek stanowią funkcje typu sumy eksponent, dla których niektóre spośród parametrów, gdy dotyczą modeli kompartmentowych, mają sens stałych przepływu.


Funkcje sklejane

Kiedy kształt odpowiedzi różni się znacznie dla poszczególnych obszarów zmiennej niezależnej, wtedy zastosowanie jednej z krzywych dopasowujących nie zapewni adekwatnego opisu danych doświadczalnych. W takim przypadku stosuje się kilka funkcji, dających lokalnie najlepsze dopasowanie do danych doświadczalnych. Poszczególne równania lokalne składane są następnie tak, aby powstał gładki opis. Miejsca złożenia funkcji lokalnych to tzw. węzły. Funkcje sklejane powstają na ogół z prostych wielomianów, dają się one łatwo naginać w miejscu sklejenia. Zapewnia to gładki i elastyczny opis. Wadą tej metody jest potrzeba operowania dużą liczbą parametrów, np. zastosowanie trzech lokalnych wielomianów trzeciego stopnia wymaga wyznaczenia 12 parametrów. Korzyścią jest w zasadzie dowolnie wierne odtworzenie danych doświadczalnych.


Samomodelowanie (ang.: self-modelling) funkcji regresji

To technika zaproponowana przez Lawton’a. Kształt funkcji aproksymującej jest taki sam dla całego obszaru zmienności: . Funkcja dopasowuje punkty pomiarowe do wspólnego układu współrzędnych wykorzystując lokalnie dobierane współczynniki przesunięcia dla , tzn. , oraz współczynniki skali . Kształt funkcji g może być postulowany na bazie teoretycznej wiedzy o obiekcie lub, jeśli jest ona niewystarczająca, może być określony eksperymentalnie. Wynik dopasowania tą metodą może być nieomal doskonały, za cenę jednak wielu parametrów.

Funkcja przenoszenia

Funkcja przenoszenia systemów liniowych jest określona na płaszczyźnie s i zdefiniowana jest następująco: L[]/L[], gdzie symbol L oznacza operator Laplace’a, to odpowiedź, to pobudzenie układu. Kiedy odpowiedź na określone transformowalne pobudzenie zostanie przedstawiona w postaci krzywej empirycznej, dla której istnieje transformata Laplace’a, wówczas odpowiedź systemu na każde inne pobudzenie może być wyznaczona jako: =L-1[], gdzie L-1 to odwrotny operator Laplace’a. Zagadnienie jest teraz przedstawione w dziedzinie s, co ma tę dogodność, że pozwala uniknąć całkowania po czasie.

Całka splotowa

Niekiedy jednak nie udaje się znaleźć transformaty odwrotnej =L-1[], a wtedy przedstawia się w postaci całki splotowej:

, gdzie L-1 i L-1,

Odpowiedź może być obliczona, jednak przy pomocy całkowania w dziedzinie czasu. Takie całki wyznacza się numerycznie na podstawie danych doświadczalnych z wykorzystaniem odpowiednich algorytmów. Całka splotowa może być przydatna przy tworzeniu modeli procesów w których produkcja substancji (np. hormonu) przez tkankę zależy nie tylko od aktualnego poziomu tej substancji, lecz również od poziomu w przeszłości.



Czasami wykorzystuje się znajomość dwóch, spośród trzech funkcji , do wyznaczenia trzeciej. Rebar i Perlman zbadali tą metodą szczegóły sekrecji hormonu luteinizującego. Nieznaną wielkość sekrecji wyznaczyli przy wykorzystaniu zmierzonego stężenia tego hormonu we krwi, tj. . Funkcja przenoszenia została wyznaczona oddzielnie, w specjalnie zaplanowanym eksperymencie. Ostateczny rezultat, tj. , został osiągnięty na drodze operacji odwrotnej do konwolucji, zdefiniowanej przez całkę splotową. Taka odwrotna operacja nosi nazwę dekonwolucji.

Metoda skończonych poziomów

Metoda ta jest szczególnie odpowiednia do modelowania procesów nie w pełni zrozumiałych, kiedy ani rodzaje połączeń ani sposoby oddziaływania nie są wystarczająco poznane. W takiej sytuacji, modele muszą obfitować w wiele hipotez i założeń. Wypracowanie ostatecznej, prawdopodobnej i sensownej struktury staje się prawie niemożliwe. Wtedy celowe jest zastosowanie metody skończonych poziomów.



W metodzie tej wartości wszystkich zmiennych są skwantowane. Każdy wynik pomiaru zostaje zakwalifikowany do określonego przedziału. Wyniki eksperymentu mają postać tabeli zawierającej skwantowane wartości wejściowe i odpowiadające im skwantowane wartości wyjściowe. Model systemu to propozycja struktury połączeń przypuszczalnie odpowiedzialnych za transformowanie wejścia u na wyjście y. Taki model zawiera często jakąś zmienną wewnętrzną, która nie jest dostępna pomiarowo. Identyfikacja takiej zmiennej jest ekwiwalentna estymacji parametru. Model musi zapewnić relację wejście-wyjście i spełnić wymóg funkcjonalności związanej z przyczynowością. Oznacza to praktycznie, że jeśli 2 zestawy pobudzeń są równe, to odpowiadające im 2 zestawy odpowiedzi także muszą być równe. Liczba poziomów przyjęta do dyskretyzacji zmiennych musi być wystarczająca do zobrazowania cech systemu. Jeśli dla obranego modelu i określonej liczby poziomów nie wszystkie z powyższych wymagań są spełnione, oznacza to, że struktura lub/i liczba poziomów jest niewłaściwa. Należy zwiększać liczbę poziomów i udoskonalać strukturę aż do uzyskania modelu spełniającego wymagania odnośnie funkcjonalności i przyczynowości.

Przykład: model i

dane eksperymentalne w postaci finite levels.



eksperyment

u1

u2

c

u3

y

1

1

1

c1

0

2

2

1

0

c2

0

2

3

1

1

c3

1

1

4

1

0

c4

1

0





1   2   3   4


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna