Modelowanie procesów biomedycznych



Pobieranie 178,25 Kb.
Strona2/4
Data14.02.2018
Rozmiar178,25 Kb.
1   2   3   4

Matematyczny opis modeli systemów biomedycznych


Celem modelowania jest otrzymanie równań opisujących zachowanie badanego systemu przy spełnieniu istotnych dla jego działania warunków, związanych ze szczególnymi właściwościami procesu. Warunki te mogą być ilościowe lub jakościowe. Niezbędne informacje o procesie pochodzić mogą z rozważań teoretycznych, z analizy postulowanych mechanizmów funkcjonowania systemu. Mogą także pochodzić z badań doświadczalnych obrazujących charakter odpowiedzi na określone pobudzenie, bez wnikania w mechanizmy działania. Mogą także dotyczyć tylko sfery zewnętrznego podobieństwa, np. dynamiki działania modelu i procesu, w oderwaniu od jego fizycznej natury.
Modelowanie teoretyczne

W modelowaniu teoretycznym, w odróżnieniu od modelowania empirycznego, parametrom badanego systemu nadaje się interpretację biologiczną lub fizjologiczną. Na szczególną uwagę, z punktu widzenia modelowania teoretycznego, zasługują równania różniczkowe. Pozwalają one na badanie dynamiki procesów w sposób uogólniony, niezależny formalnie od szczególnych wartości pomiarowych w określonych chwilach czasu. Na przykład: równanie różniczkowe uogólnia właściwości wszystkich równań algebraicznych postaci , niezależnie od tego jaka była wartość . Równania różniczkowe, ich rozmaite odmiany, są odpowiednie do opisu szybkości metabolizmu, dystrybucji i eliminacji substancji w złożonych systemach biologicznych. Zazwyczaj są to równania różniczkowe zwyczajne zmiennej ciągłej i deterministycznej.

W systemach ciągłych, wraz ze zmianami zmiennej niezależnej, zmienne zależne mogą przyjmować dowolne wartości z właściwych im przedziałów zmienności. Przykłady, to zmiany stężeń leków w osoczu lub zmiany wielkości strumieni materii lub energii zasilających wyróżnione obszary badanego systemu. W systemach nieciągłych, dyskretnych, zmienne zależne mogą przyjmować tylko skończoną liczbę wartości w określonych momentach czasu. Przykładem może być sekrecja hormonów lub przewodnictwo impulsów nerwowych. Systemy ciągłe mogą być traktowane w sposób dyskretny. Tak jest wtedy, gdy zmieniająca się w sposób ciągły odpowiedź przedstawiana jest w postaci dyskretnych próbek. Do opisu systemów dyskretnych stosuje się równania różnicowe, algebrę skończonych poziomów, teorię automatów i metody indywiduowe.

W systemach deterministycznych zmienne zależne określone są jednoznacznie dla każdej chwili t i jednoznacznie zależą od poprzedniego stanu. W systemach stochastycznych zmiennym przypisane jest określone prawdopodobieństwo. Determinizm często jest osiągany przez uśrednienie wielkiej liczby zdarzeń stochastycznych.

Badanie systemu biomedycznego może dotyczyć jego dynamiki lub stanu ustalonego. Badanie dynamiki wymaga zastosowania wymuszenia, które wytrąca system ze stanu ustalonego.

Niezależnie od równań różniczkowych opisujących dynamikę systemu, często istnieje potrzeba formalnego przedstawienia innych zależności, mających postać równań algebraicznych. Dotyczyć to może np. założenia o stałej sumie mas substancji lub założenia o szczególnych relacjach pomiędzy wartościami początkowymi zmiennych.

Dla każdego systemu istnieje grupa istotnych dla jego funkcjonowania zmiennych, nazywanych zmiennymi stanu. Opisują one w kompletny sposób stan systemu dla każdej chwili t. Zmienne stanu związane są z równaniami zwanymi równaniami stanu. Często zmienne stanu mogą być wprost obserwowane w przebiegu eksperymentu, np. zmiany stężeń leków w przebiegu terapii. W przeciwnym razie są one wyrażone przez dodatkowe relacje matematyczne wymagające niekiedy wprowadzenia dodatkowych parametrów. Ostatecznym celem modelowania jest rozwiązanie utworzonych równań różniczkowych, wraz z towarzyszącymi im związkami algebraicznymi, oraz porównanie otrzymanego wyniku z danymi eksperymentalnymi. Oczekujemy zgodności odpowiedzi modelu z wynikami eksperymentu, a wartości parametrów, dla których ta zgodność jest najlepsza, to parametry modelu. W modelowaniu teoretycznym, parametrom modelu nadaje się interpretację biologiczną i znaczenie fizyczne.



Zastosowanie modelowania teoretycznego wymaga wnikliwej znajomości zasad funkcjonowania systemu, aby było możliwe wyróżnienie reprezentatywnego zbioru zmiennych stanu i postulowanie związków między nimi. W wyniku badań, tworzenia i doskonalenia modeli oraz doskonalenia eksperymentu, osiągamy lepszy poziom zrozumienia zjawiska. Stanowi to uzasadnienie dla modelowania teoretycznego. Powinno być celem dążenie do tworzenia modeli teoretycznych, gdyż ten sposób modelowania wnika w istotę zjawiska i przyczynia się do lepszego poznania jego natury.
Liniowość procesów

Liniowość bądź nieliniowość dotyczy zarówno sposobu działania systemu, jak i metod matematycznych właściwych do jego opisu. Tylko ograniczony rodzaj oddziaływań w systemach biologicznych można uznać za liniowy. Są to oddziaływania, w których zmianom zmiennej niezależnej towarzyszą proporcjonalne zmiany zmiennej zależnej. W praktyce dotyczy to ograniczonego zakresu zmiennych stanu i zmiennych zewnętrznych, takich jak wielkość pobudzenia i czas jego trwania. Często wzrost wartości pobudzenia prowadzi w systemach biologicznych do zjawiska nasycenia, a więc ujawnia nieliniowość procesu. Wydaje się słuszne, aby wszystkie procesy biologiczne traktować wstępnie jako nieliniowe, chyba że uda się wykazać doświadczalnie że jest inaczej.

Funkcjonowanie systemów liniowych opisywane jest za pomocą liniowych operatorów. Operator liniowy F posiada taką właściwość, że jeśli , to . Właściwość ta, zasada superpozycji, może być wykorzystana do sprawdzenia założenia o liniowości procesu.

Dla wielu systemów biologicznych oddziaływanie między zmiennymi stanu jest takie, że odpowiedź y ma cechy funkcji wykładniczej . Zgodnie z definicją liniowości, odpowiedź ta jest nieliniowa, choć równanie różniczkowe generujące tę odpowiedź jest liniowe. Nieliniowość odpowiedzi y dotyczy zarówno czasu t jak i parametrów , zwanych makroparametrami modelu.

Do ważnych, z punktu widzenia modelowania i analizy systemów, operatorów liniowych należy zaliczyć operator różniczkowania i operator transformacji Laplace’a, przekształcający równania różniczkowe, będące funkcją czasu, w równania algebraiczne zmiennej s.




1   2   3   4


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna