Matematyka



Pobieranie 31,84 Kb.
Data14.02.2018
Rozmiar31,84 Kb.

MATEMATYKA

Kod przedmiotu

Semestr

Liczba godzin w tygodniu

Punkty ECTS

I


W

Ć

L

S

P

10

3

3













Prowadzący przedmiot: Prof. dr hab. inż. Zbigniew J. Grzywna

Katedra: Katedra Fizykochemii i Technologii Polimerów

WYKŁAD [45 godzin]




Repetytorium i wstęp do matematyki wyższej [3 godziny]

Zbiory liczbowe. Metoda indukcji matematycznej. Funkcje jednej zmiennej. Funkcja określona parametrycznie. Rodzina funkcji elementarnych. Granica funkcji w punkcie. Granice jednostronne i niewłaściwe. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Ciągłość funkcji elementarnych. Intuicja – twierdzenie – dowód. Reguły różniczkowania. Pochodna funkcji złożonej i odwrotnej. Różniczkowanie jako operator liniowy. Rząd pochodnej. Antyróżniczkowanie jako operacja odwrotna do różniczkowania.



Zastosowanie pochodnej [3 godziny]

Wielkości średnie i chwilowe. Kinematyka i kinetyka. Styczna i normalna. Krzywizna krzywej. Przybliżone rozwiązywanie równań. Twierdzenia o wartości średniej. Twierdzenie de l’Hospitala. Wzór Taylora. Zastosowanie wzoru Taylora. Wzór Maclaurina. Ekstrema funkcji jednej zmiennej. Badanie funkcji.



Funkcje wielu zmiennych [3 godziny]

Funkcje wielu zmiennych, granica i ciągłość. Pochodne cząstkowe. Funkcje uwikłane. Krzywe przestrzenne. Płaszczyzna styczna do powierzchni. Różniczka zupełna.



Szeregi liczbowe i funkcyjne [6 godzin]

Ciągi liczbowe, definicja, granica, granica niewłaściwa. Twierdzenia o granicy sumy, iloczynu i ilorazu. Szeregi liczbowe: definicja, przykłady, zbieżność. Szereg geometryczny. Kryteria zbieżności. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Szereg naprzemienny. Szeregi potęgowe: definicja szeregu funkcyjnego i potęgowego. Promień zbieżności szeregu potęgowego. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.



Całka nieoznaczona [6 godzin]

Całka nieoznaczona jako operator odwrotny do różniczkowania. Funkcja pierwotna. Własności całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste, całkowanie ułamków prostych. Całkowanie funkcji elementarnych.



Całka oznaczona [6 godzin]
Definicja Riemanna. Związek całki oznaczonej z nieoznaczoną – podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Twierdzenie o wartości średniej. Całka oznaczona jako funkcjonał liniowy. Obliczanie całki oznaczonej. Całkowanie przez części i podstawienie. Całka niewłaściwa. Zastosowania całki oznaczonej: pole obszaru płaskiego, długość łuku, objętość bryły obrotowej, praca na drodze prostoliniowej.

Szeregi Trygonometryczne [6 godzin]

Zjawiska periodyczne. Drgania proste i złożone. Szeregi trygonometryczne. Szereg Fouriera funkcji. Analiza harmoniczna. Zbieżność szeregu Fouriera. Interpolacja trygonometryczna. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Fouriera. Funkcje periodyczne o dowolnym okresie T. Szeregi ortogonalne.


Wyznaczniki i Macierze [6 godzin]

Macierze. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Zastosowanie wyznaczników. Działania na macierzach. Układy równań liniowych. Macierz układu. Wzory Cramera. Twierdzenie Kroneckera - Capellego. Układy jednorodne.



Liczby zespolone. Równania algebraiczne. Funkcje zmiennej zespolonej [3 godziny]

Liczby zespolone: definicja, dodawanie, odejmowanie, mnożenie liczb zespolonych, liczby sprzężone, dzielenie liczb zespolonych, pierwiastkowanie liczb zespolonych. Równania algebraiczne. Własności równań algebraicznych i wielomianów. Funkcje zmiennej zespolonej: funkcje wymierne i elementarne funkcje algebraiczne, funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne, funkcja ln z, funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej.



Równania Różniczkowe Zwyczajne [3 godziny]

Przykłady równań występujących w chemii i fizyce. Uwagi ogólne na temat typów, rzędu i ”dobrego postawienia” zagadnień. Rozwiązanie ogólne, szczególne i osobliwe. Równania I rzędu: jednorodne, zupełne. Czynnik całkujący. Równania liniowe I rzędu. Metoda wariacji stałej oraz współczynników nieoznaczonych. Równania nieliniowe i metoda szeregów potęgowych. Układy równań I rzędu.


Literatura:

  1. R. Leitner, „Zarys matematyki wyższej”, cz. I, II, III, WNT, Warszawa, 1995

  2. H. Pidek-Łopuszańska, W. Ślebodziński, K. Urbanik, "Matematyka dla chemików", PWN, Warszawa, 1970.

  3. W. Wrona, "Matematyka", PWN, Warszawa, 1966.

  4. R. Rudnicki, "Wykłady z analizy matematycznej", PWN, Warszawa, 2001.

  5. R.S. Guter, A.R. Janpolski, "Równania różniczkowe", PWN, Warszawa, 1989.


ĆWICZENIA [60 godzin]. MATEMATYKA


Zadania i problemy ilustrujące wykładane treści.

MATEMATYKA

Kod przedmiotu

Semestr

Liczba godzin w tygodniu

Punkty ECTS

II

 


W

Ć

L

S

P

6

2

2

 

 

 

 

Prowadzący przedmiot: Prof. dr hab. inż. Zbigniew J. Grzywna

Katedra: Katedra Fizykochemii i Technologii Polimerów

WYKŁAD [30 godzin]




Równania Różniczkowe Zwyczajne [8 godzin]

Równania II rzędu: równania redukowalne do równań I rzędu, jednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach. Liniowe równania niejednorodne. Metoda współczynników nieoznaczonych oraz wariacji stałych. Metody operatorowe rozwiązywania równań różniczkowych.



Całki Wielokrotne [4 godziny]

Obliczanie objętości. Całka podwójna. Własności całki podwójnej. Zastosowanie całki podwójnej. Zmiana zmiennych w całce podwójnej. Pole powierzchni. Całka powierzchniowa. Całka podwójna w układzie biegunowym. Całka potrójna. Własności całki potrójnej. Całka potrójna w układzie cylindrycznym i sferycznym. Całka potrójna we współrzędnych krzywoliniowych.



Całka krzywoliniowa i powierzchniowa [4 godziny]

Definicja całki krzywoliniowej. Zamiana całki krzywoliniowej na zwykłą. Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej. Całka powierzchniowa funkcji skalarnej. Całka krzywoliniowa funkcji wektorowej. Całka powierzchniowa funkcji wektorowej. Twierdzenie Greena. Niezależność od drogi całkowania. Różniczka zupełna. Zastosowanie do termodynamiki.



Analiza wektorowa [6 godzin]

Pole skalarne. Pole wektorowe. Warstwice (powierzchnie ekwipotencjalne) pola skalarnego. Pole jednorodne i centralne. Analiza pola: gradient, dywergencja, rotacja. Rotacja a cyrkulacja. Twierdzenia teorii pola: twierdzenie Gaussa i Stokesa. Niezależność od drogi całkowania. Pole potencjalne. Pole grawitacyjne i jego parametry: źródło, natężenie, potencjał, energia.



Operatory liniowe [2 godziny]
Operatory i działania na operatorach. Definicja i przykłady operatorów. Operatory liniowe, przykłady, zastosowania oraz elementy teorii. Wartości i funkcje własne operatorów. Definicja wartości i funkcji własnych operatora liniowego. Wartości własne operatora energii całkowitej.

Równania Różniczkowe Cząstkowe [6 godzin]

Równania rzędu II. Trzy operatory różniczkowe II rzędu: operator potencjału, dyfuzji oraz fali. Podstawowe typy zagadnień: początkowe, brzegowe oraz na wartości własne. Trzy typowe rodzaje warunków brzegowych: Dirichleta, Neumanna oraz Robina. Trzy najczęstsze metody rozwiązywania: rozdzielania zmiennych, funkcji Greena oraz wariacyjna. Metody operatorowe: transformacja Fouriera oraz transformacja Laplace’a.


Literatura:


  1. R. Leitner, „Zarys matematyki wyższej”, cz. I, II, III, WNT, Warszawa, 1995

  2. W. Wrona, "Matematyka", PWN, Warszawa, 1966.

  3. F. Leja, "Rachunek różniczkowy i całkowy", PZWS, Warszawa, 1949.

  4. F.A. Cotton, "Teoria Grup. Zastosowanie w chemii", PWN, Warszawa, 1973.

  5. H. Marcinkowska, "Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych", PWN, Warszawa, 1972



ĆWICZENIA [30 godzin]. MATEMATYKA

Zadania i problemy ilustrujące wykładane treści.









©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna