Logika formalna – nauka badająca poprawność rozwiązań



Pobieranie 0,96 Mb.
Strona8/9
Data30.05.2018
Rozmiar0,96 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

TEORIA MNOGOŚCI



Antynomia (sprzeczność) Russela

Niech Z={x:x∉x}. Czy ZZ ?. Jeśli ZZ to z definicji Z mamy Z∉Z – sprzeczność. Jeśli zaś Z∉Z, to znowu z definicji Z mamy Z..Z – sprzeczność.


Pojęcie pierwotne zbiór i należenie elementu do zbioru.


    1. Aksjomat ekstensjonalności. Zbiory A i B są równe, gdy mają te same elementy.

    2. Aksjomat sumy. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór do którego należą wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie ma żadnych innych elemantów.

    3. Aksjomat różnicy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór do którego należą te wszystkie elementy zbioru A, które nie należą do B, i który nie ma żadnych innych elementów.

    4. Aksjomat istnienia. Istnieje co najmniej jeden zbiór.

Korzystając z I i IV, ⊆, , ø można zdefiniować następująco:

A⊆BAB-B



ABA-(A-B)

øA-A, gdzie A jest dowolnym zbiorem

    1. Aksjomat (schemat) wyróżniania. Dla dowolnego zbioru A i dowolnej funkcji zdaniowej (x), gdzie xA istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają (x).

({xA:(x)} jest zbiorem)


Uwaga!

Aksjomat różnicy można by pominąć w rozważaniach, bo A-B={xA: x∉B} tzn. aksjomat różnicy wynika z aksjomatu wyróżniania.






    1. Aksjomat potęgowy. Dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory zbioru A i tylko one.

    2. Aksjomat wyboru. Dla dowolnej rodziny zbiorów nie pustych i rozłącznych (parami) istnieje zbiór który z każdym elementem (zbiorem) z tej rodziny ma dokładnie jeden element wspólny.

    3. Aksjomat pary. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego jedynymi elementami są A i B.

Definicja

Zbiór {x,y} nazywamy parą nieuporządkowaną o elementach x,y.



Zbiór { {x}, {x,y} } nazywamy parą uporządkowaną o pierwszej współrzędnej x i drugiej y.
Twierdzenie

Para = x=u  y=v


Definicja

Jeśli x i y są zbiorami to XY {: xX, yY}

(XY)→ iloczyn (produkt) kartezjański zbiorów X i Y.



Analogicznie określamy iloczyn kartezjański zbiorów:

x1,..., xn : x1...xn{: x1X1...xnXn}

Twierdzenie:

Jeśli X ma m elementów, Y ma n elementów to XY ma mx elementów. Ogólniej jeśli Xi ma ki elementów, to dla i=1,...,n to X1 ...Xn ma ki,...,kn elementów.



1   2   3   4   5   6   7   8   9


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna