Logika formalna – nauka badająca poprawność rozwiązań


Definicja: Zdanie p i q są równoważne ↔ w(p)=w(q) (ozn. - pq, czyt. zdanie p jest równoważne zdaniu q). pq↔w(pq)=1 Definicja



Pobieranie 0,96 Mb.
Strona3/9
Data30.05.2018
Rozmiar0,96 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Definicja:

Zdanie p i q są równoważne ↔ w(p)=w(q) (ozn. - pq, czyt. zdanie p jest równoważne zdaniu q).

pq↔w(pq)=1

Definicja:

Funkcje zdaniowe, (x), xX, (x), xX są równoważne ↔ dla każdego aX,

W((a))=w((a)) (ozn. (x)(x),xX)


Uwaga!

(x)(x), xX ↔ dla każdego aX, w((a)(a))=1





Twierdzenie:

Dla dowolnych zdań p,q,r,s



  1. pp

  2. Jeśli pq, to qp

  3. Jeśli pq, to ~p~q

  4. Jeśli pq i rs, to (pr)(qs)

(pr)(qs), (pr)(qs), (pr)(qs)


Twierdzenie:

Dla dowolnych funkcji zdaniowych (x), xX, (x), xX, δ(x), xX, θ(x), xX



  1. (x)(x)

  2. Jeśli (x)(x), to (x)(x)

  3. Jeśli (x)(x), to ~(x)~(x)

  4. Jeśli (x)(x) i δ(x)θ(x), to

    • ((x)δ(x))((x)θ(x))

    • ((x)δ(x))((x)θ(x))

    • ((x)δ(x))((x)θ(x))

    • ((x)δ(x))((x)θ(x))




Uwaga!

Powyższe własności odgrywają istotną rolę w rozumowaniach dedukcyjnych, pozwalają mianowicie w każdym kroku rozumowania dedukcyjnego zastąpić dowolne zdanie (funkcję zdaniową) zdaniem równoważnym (funkcją zdaniową równoważną).




TWIERDZENIA matematyczne mają często postać implikacji pq (gdzie p – założenie, q – teza).

Dla implikacji pq (którą nazywamy prostą), implikację qp nazywamy odwrotną, implikację ~q~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p~q nazywamy przeciwną.

Z prawa kontrapozycji (pq)(~q~p) wynika, że (pq)(~q~p) oraz (qp)(~p~q). Stąd w rozumowaniu dedukcyjnym zdanie pq można zastąpić zdaniem ~q~p, a zdanie qp zdaniem ~p~q.

Kwadrat logiczny





pq qp

(prosta) (odwrotna)


~p~q ~q~p

(przeciwna) (przeciwstawna)


Wniosek:

Dla dowodu prawdziwości implikacji pq, qp, ~q~p, ~p~q wystarczy pokazać prawdziwość dwu implikacji umieszczonych przy tym samym boku kwadratu logicznego.




Uwaga!

Dla dowodu prawdziwości zdania pq wystarczy pokazać, że prawdziwe są dwie implikacje umieszczone przy tym samym boku kwadratu logicznego.





Dowody
Ciąg 1,…,n jest dowodem twierdzenia , jeśli:

  1. 1 jest założeniem twierdzenia , aksjomatem lub jednym z wcześniej udowodnionych twierdzeń.

  2. i dla i>1 może być aksjomatem, założeniem twierdzenia, wcześniej udowodnionym twierdzeniem lub i jest konsekwencją kilku wcześniejszych wyrazów tego ciągu w oparciu o jedną z przyjętych reguł dowodzenia.

  3. n=

DOWÓD DEDUKCYJNY twierdzenia 



    • ciąg 1,…,n budujemy od początku do końca (1,2,3,…);

DOWÓD REDUKCYJNY



    • ciąg 1,…,n budujemy od końca (…,n-1,n)

DOWÓD APAGOGICZNY (przez sprowadzenie do niedorzeczności, niewprost).



Metoda ta polega na tym, że zaprzeczamy stwierdzeniu które mamy udowodnić i jeśli z założenia, że twierdzenie jest fałszywe wywnioskujemy sprzeczność to uznajemy, że twierdzenie jest prawdziwe. Stosujemy przy tym następującą regułę dowodzenia:


(Δ)




1   2   3   4   5   6   7   8   9


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna