Liczby zespolone



Pobieranie 1,65 Mb.
Strona2/21
Data01.03.2019
Rozmiar1,65 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21
Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu ak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg:

który nazywamy n – resztą szeregu ak .



Tw. Jeżeli szeregi an; bn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S1 i S2 to (an+ bn ) i (kan) wynoszą odpowiednio S1+S2 i kS1 .

Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:

Jeżeli szereg an jest zbieżny, to lim an=0



Dowód:

an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0



Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Dowód:

Sn=a1+ a2+ a3+…+ an  an0, ciąg Sn jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny  Sn -jest zbieżny.



Kryterium porównawcze:

Jeżeli wyrazy szeregów  an i  bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n0 , że n> n0 i spełniona jest nierówność an bn, to:

- ze zbieżności szer bn wynika zbieżność szeregu an

- z rozbieżności szeregu an wynika rozb szeregu bn



Dowód:

Sn= an - chcemy pokazać, że jest zbieżny.

Sn = Sn0+ak  Sn0 +bk  Sn0 + B;

k= n0 +1 ciąg sum częściowych Sn =Sn0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność bk\n z założenia zbieżny i równy B.



Kryterium d’Alamberta:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim an+1/an, to szereg an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.



Kryterium Cauchyego:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim nan, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.



Kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x n0N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0 f(x)dx



Kryterium Leibniza:

Jeżeli ciąg {an} jest nierosnący oraz lim an=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.



[Ciąg nierosnący an+1an ]

Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli an liczb. jest zbież i jeżeli spełniona jest nierówność fn(x)an to  funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. an nazywamy majorantą  funkcyjnego.

Dowód:

an jako zbieżny musi spełniać warunek:









- war. konieczny i dostateczny zb  funkcyjnego.





1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna