Klasyczny rachunek zdań



Pobieranie 1,67 Mb.
Strona9/16
Data25.03.2018
Rozmiar1,67 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16

Ex. 50. Wykazać, że jest zbiory X i Y są mocy 0, to X Y też jest mocy0.

Niech f: NX i g: NY przekształca zbiór N odpowiednio na X i Y. Mamy zatem pary

f(1), g (1), f(1), g (2) , f(1), g (3),.... f(1), g (n),...

f(2), g (1), f(2), g (2) , f(2), g (3),.... f(2), g (n),...

f(3), g (1), f(3), g (2) , f(3), g (3),.... f(3), g (n),... ............................................................................................

f(m), g (1), f(m), g (2) , f(m), g (3),.... f(m), g (n),...


.................................................................................................

Ustawiając pary w odpowiednim porządku można ustalić funkcję h: N X Y

Która przekształca zbiór N na iloczyn kartezjański zbiorów X i Y.

h(1)= f(1), g (1) pierwsza przekątna

h(2)=f(1), g (2)

h(3)= f(2), g (1) druga przekątna

h(4)= f(3), g (1)

h(5)= f(2), g (2) trzecia przekątna

h(6)= f(1), g (3)

.............................


Zatem Iloczyn kartezjański X i Y jest mocy 0, co zapisujemy =0
Def.1 Niech  oznacza zbiór liczb rzeczywistych.. Zbiory o mocy c nazywa się zbiorami o mocy continuum.
Udowodnimy, że zbiór o mocy continuum jest nieprzeliczalny. W tym celu wystarczy udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych  posiada moc różną od 0 tzn.0c. Dowód taki pochodzi od Cantora i nazywa się dowodem przekątniowym. Jest on dowodem nie wprost.
Dowód.
1. Załóżmy, że =0

Niech  składa się z wszystkich liczb rzeczywistych uporządkowanych w różnowartościowy nieskończony ciąg: r1, r2, r3,...

Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje jej rozwinięcie na ułamek dziesiętny nieskończony, wyrazy ciągu można przedstawić następująco:
r1= c1, c11 c12...

r2= c2, c21 c22...

........................

rn= cn, cn1 cn2...

.......................

gdzie cn jest częścią całkowitą, a cn1 cn2, ... kolejnymi cyframi rozwinięcia dziesiętnego liczby rn. Budujemy tabelę, która przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę rzeczywistą.




1

2

3



4

.

n



.

c1, c11 c12 .................

c2,c21c22.......................

c3,c31c32 c33.................

c4,c41c42 c43 c44...........

.......................................cn, cn1 cn2.............. cnn

..................................




  1. Określmy liczbę r następująco: r = 0,d1 d2..., gdzie dla każdego n 1

0, gdy cnn  0

dn=


1, gdy cnn = 0



a) Z założenia liczba r jest liczba rzeczywista, a więc należy do ciągu wszystkich liczb rzeczywistych zebranych w tabeli.

b) Z drugiej strony liczba r różni się od każdej liczby rzeczywistej ciągu zebranego w tabeli, gdyż różni się od niej przynajmniej na jednej pozycji nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego liczby rn. Wystąpiła sprzeczność a zatem i 0 c.


1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna