Klasyczny rachunek zdań



Pobieranie 1,67 Mb.
Strona6/16
Data25.03.2018
Rozmiar1,67 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Funkcja identycznościowa

Funkcję f : XX przekształcającą każdy x X na samego siebie nazywamy funkcja identycznościową i oznaczamy I.



I(x) = x
Funkcja stała

Funkcję f : XY nazywamy funkcją stała, jeśli istnieje element y0Y taki, że f(x)= y0 dla wszystkich x X.


Funkcja charakterystyczna

Weźmy zbiór X i jego podzbiór A. Funkcję określoną na zbiorze X, która przyjmuje wartość 1 dla elementów x A i wartość 0 dla xA, nazywamy funkcja charakterystyczna zbioru A i oznaczamy A.


1 dla x A

A =


0 dla xA

Ex. 46. Dla n  Z (zbiór liczb całkowitych) niech funkcja f jest funkcja charakterystyczna pewnego podzbioru zbioru Z. Jaki to podzbiór?

Liczby parzyste dodatnie, gdyż f(n)= 1 dla n - parzystych i 0 dla nieparzystych



MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE
Badania nad mocami zbiorów są jednym z podstawowych działów teorii mnogości. Terminem pierwotnym jaki zostaje tu użyty jest termin równoliczność zbiorów, który to termin po raz pierwszy został sprecyzowany przez G. Cantora twórcę matematycznej koncepcji zbiorów.
Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja różnowartościowa

f: X Y przekształcająca zbiór X na Y. Funkcja f ustala równoliczność zbiorów X i Y. Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne, to piszemy X~Y.
Ex. 47. Jeżeli X={1, 2, 3, 4} a zbiór Y={2, 4, 6, 8}, to zbiory te są równoliczne, gdyż istnieje funkcja różnowartościowa f określona następująco f(x)=2x, która przekształca zbiór X na Y.

Własności równoliczności
X ~ X

X~ Y Y~ X

X~ Y  Y~ Z X~ Z

Zachodzi 1. gdyż istnieje Ix(x)=x, która przekształca X na X

Zachodzi 2. gdyż jeśli istnieje f przekształcająca X na Y , to istnieje f -1: Y X, przekształcająca Y na X

Zachodzi 3., gdyż jeśli istnieje f: X Y przekształcająca X na Y oraz jeśli istnieje g: Y Z, to istnieje fg: X Z, które przekształca X na Z


Określenie mocy zbioru
Każdemu zbiorowi X przyporządkowana jest pewna własność zwana mocą zbioru lub liczba kardynalną, która nie zmienia się jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie jednoznacznie przez inne elementy, a także wtedy gdy zmieni się uporządkowanie elementów zbioru X.. Liczbę kardynalną zbioru X oznaczamy przez .
Zachodzą następujące zależności

(=)  X~ Y

Jeżeli zbiór X jest zbiorem n -elementowym, to = n
Ex 48. Niech X={1, 4, 6, 9}; = 4. Jeśli X jest zbiorem pustym, to jego mocą jest liczba kardynalna n = 0

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna