Klasyczny rachunek zdań



Pobieranie 1,67 Mb.
Strona5/16
Data25.03.2018
Rozmiar1,67 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI



Def. Relację R określoną w zbiorze X nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia w zbiorze X i oznaczamy symbolem .
Ex 38. Niech R będzie relacją „=” określoną w zbiorze X liczb rzeczywistych.

Dla każdych x, y, z X zachodzi

x = x,

x =y  y = x



x =y  y = z x = z

Relacja „=” jest relacją „ ”.


Tw.1 (Zasada abstrakcji). Jeżeli w zbiorze X określona jest relacja równoważności „ ”, to podzbiory: [x], [y],... (zwane klasami abstrakcji relacji równoważności), określone następująco:z [x]  z x

spełniają następujące warunki:

każda klasa jest niepusta

suma wszystkich klas daje zbiór X

każde dwie klasy są albo rozłączne albo identyczne

dwie klasy są identyczne [x]=[y] wtedy i tylko wtedy, gdy x  y


Niech w zbiorze X określona będzie relacja „”. Weźmy dowolne xX. Tworzymy podzbiór [x] zbioru X zwany klasa abstrakcji elementu x, złożony ze wszystkich tych elementów yX, które są równoważne x.

1. Wobec zwrotności „” x[x]

2. Wobec tego, że każdy element zbioru X tworzy klasę abstrakcji, zatem

[x]  [y] ...=X

3. Jeżeli x y, to [x]=[y], gdyż z[x]. wtw. gdy zx, wobec przechodniości relacji „”

zy, czyli z[y]. A zatem [x][y]. Podobnie z[y] wtw gdy. zy wobec przechodniości relacji „” z x, czyli z[x]. A zatem [y][x]. A zatem [x]=[y]

4. Jeżeli x  y, to [x]  [y] =. Załóżmy[x]  [y]   . Istnieje takie z, że z[x] i. z[y]. Stąd z zx i z  y, a wobec przechodniości relacji „” x  y. A zatem jeżeli x  y,

to [x]  [y] =.


Zasada abstrakcji ma dla matematyki wielkie znaczenie, gdyż pozwala z elementów jakiegoś zbioru przedmiotów, w którym jest określona relacja równoważności, tworzyć nowe obiekty - klasy abstrakcji tej relacji - klasy abstrakcji tej relacji, utożsamiając wszystkie przedmioty równoważne.

RELACJE PORZĄDKUJĄCE


Def. . Relację R określoną w zbiorze X nazywamy relacją porządkującą, jeżeli jest ona zwrotna, antysymetryczna i przechodnia w zbiorze X
Ex.39. Niech relacja R oznacza relacje podzielności (x|y) ( x jest dzielnikiem y) w zbiorze X liczb naturalnych.

x|x


jeżeli x|y i y|x, to x=y

jeżeli x|y i y|z, to x|z


Ex. 40 .Niech X będzie zbiorem podzbiorów ustalonego zbioru A={1, 2, 3}. Relacja R niech będzie relacja inkluzji „” czyli zawierania się podzbiorów. Narysuj graf tej relacji.

Podzbiory: {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3},


{1, 2, 3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3}

{1} {2} {3}




Graf relacji inkluzji zbioru X podzbiorów zbioru A={1, 2, 3}
Def. Relację R porządku w zbiorze X nazywamy relacją liniowego porządku, jeżeli spełnia własbość spójności.
Ex. 40 Relacją liniowo porządkującą jest relacja „” oraz relacja” ”. Nie jest nią natomiast relacja „>” ani też relacja „<”, które są tylko relacjami częściowego porządku, gdyż nie śą spójne. Innym ważnym przykładem relacji liniowego porządku jest tak zwane uporządkowanie leksykograficzne .
Ex 41. Dla następujących relacji w zbiorze A={0, 1, 2, 3} określ, które z własności refl, sym, trans as spełniają następujące relacje

x, y  R1, jeśli x +y=3

x, y  R2, jeśli x -y jest liczbą parzystą

x, y  R3, jeśli x  y

x, y  R3, jeśli max{x, y}=3

Narysuj wykres każdej z tych relacji. Nie rysuj strzałek, jeśli relacja jest symetryczna.



FUNKCJE
Pojęcie funkcji, aczkolwiek było od dość dawna używane przez matematyków doczekało się stosunkowo dość późno precyzacji za sprawą G. Peano w terminach teorii relacji.
Def 1. Funkcją f określona na zbiorze X (zwanego dziedziną funkcji), o wartościach należących do zbioru Y (zwanego przeciwdziedziną), nazywamy relację R, która każdemu elementowi dziedziny, przyporządkowuje jeden i tylko jeden przedmiot przeciwdziedziny, co oznaczamy f: X Y, a czytamy zazwyczaj funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y, co można opisać poniższym diagramem:.

x . f(x)



Funkcje określamy dwoma sposobami:
a) postać algebraiczna

podając zbiór X na którym jest określona i regułę lub wzór f(x) dla każdego x X.




  1. postać graficzna

podając podzbiór U par uporządkowanych  x, y iloczynu kartezjańskiego X  Y takich, że

y = f(x)  x, y f.



Rodzaje funkcji
1. Funkcja różnowartościowa

Funkcja f: X Y jest funkcja różnowartościową, jeśli różnym elementom zbioru X funkcja przyporządkowuje różne wartości w zbiorze Y.


2. Funkcja „na”

Funkcja f: X Y jest funkcją przekształcającą zbiór X na Y, jeśli dla każdego yY, istnieje takie x, że y = f(x), tzn. każdy element przeciwdziedziny jest wartościa funkcji dla jakiegoś argumentu.


3. Funkcja jako przekształcenie wzajemnie jednoznaczne:

Funkcję f: X Y nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym wtw. gdy jest różnowartościowa i przekształca zbiór X na Y.


Ex 42. Określ rodzaj funkcji

       

      

       

     

     


a) b) c) d)

  1. funkcja „na”

  2. funkcja różnowartościowa

  3. przekształcenie wzajemnie jednoznaczne

  4. przekształcenie nie jest funkcją


Ex. 43. Niech X={1, 2, 3, 4, 5} i weźmy następujące funkcje ze zbioru X w zbiór X

f(n) = 6-n

g(n) = max{3, n}

h(x)= max{1, n-1}

- zapisz każdą z tych funkcji jako zbiór par uporządkowanych, tzn. wypisz elementy ich wykresów

- naszkicuj wykres każdej z tych funkcji

- które z tych funkcji są jednocześnie różnowartościowe i „na”
Operacje na funkcjach
1. Superpozycja

Niech będą dane funkcje f: X Y i g: Y Z. Dla każdego elementu xX istnieje wówczas dokładnie jeden element zZ, taki że z =g(f(x)). Funkcje f i g wyznaczają więc nową funkcję h: X Z określoną w następujący sposób: h(x) = g(f(x)) dla każdego xX. Funkcję h nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji f i g i oznaczamy symbolem gf. Z definicji mamy: (gf)(x) = g(f(x))


f g




gf

Ex. 44. Niech f(x)= x2 a g(x) = x+1. Niżej podane funkcje wyraź za pomocą funkcji f i g

  1. h(x)= x2 +1 h(x)=( gf) (x)

b) h(x)= (x +1)2 h(x)=( fg) (x)

c) h(x)= x +2 h(x)=( gg) (x) = g2(x)

d) h(x)= x4 h(x)=( ff ) (x) = f 2(x)

e) h(x)= (x2 +1)2 h(x)= f ( fg ) (x)

f) h(x)= (x +2)2 h(x)= f ( g  g ) (x)

2. Odwracanie funkcji

Funkcję g: Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X Y jeżeli y = f(x)(zbiór argumentów funkcji g jest zbiorem wartości funkcji f) a x= g(y) (zbiór argumentów funkcji f jest zbiorem wartości funkcji g) i dla każdego x X zachodzi równość g(f(x)) = x. Funkcję g oznaczamy symbolem f -1. Funkcje, które posiadają funkcje odwrotne nazywamy funkcjami odwracalnymi.



f




f –1

Ex 45. Znajdź funkcje odwrotne następujących funkcji, przedstawiając je w podobnej formie np. f(x) = 2x f –1(x) =

  1. f(x)= 2x – 3

  2. f(x)= 3 - 5x



d)

e)



1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


©operacji.org 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna