Kalkulator



Pobieranie 1,2 Mb.
Strona1/5
Data24.04.2018
Rozmiar1,2 Mb.
  1   2   3   4   5

Kalkulatory

Krzysztof Mostowski

kmostows@o2.pl



Wacław Zawadowski

wacek@mimuw.edu.pl


Wstęp
Przyjęcie do stałego użytku nawet najprostszego kalkulatora zmienia nasz sposób myślenia o liczbach. Uczymy się wtedy dialogu z kalkulatorem. Działania dwuargumentowe możemy wtedy traktować jednoargumentowo. Działamy wtedy na ostatni wynik w kalkulatorze:

plus dwa,

razy trzy,

podziel przez pięć,

minus cztery,

weź pierwiastek...


Tak wyrażone funkcje są różnowartościowe, a więc odwracalne. To jest bardzo ważna, istotna własność tak potraktowanych działań arytmetycznych. Jednoargumentowo.

Ważny jest też całościowy obraz tych operacji, przedstawionych wizualnie na osi liczbowej. Liczby traktujemy wizualnie jako punkty na osi liczbowej, patrzymy na liczby całościowo, używamy liczb do porównań, umieszczając je na osi liczbowej i do obliczeń wieloetapowych z odpowiednim zapisem lub wyobrażeniem tego zapisu w głowie. Takie rachowanie z kalkulatorem w ręku może być czymś przyjemnym. Widzimy też, że dialog z kalkulatorem dzieje się w języku liczb dziesiętnych.

Zbiór liczb dziesiętnych jest często pomijany przy wyliczaniu kolejnych rozszerzeń zbioru liczb naturalnych. Kolejne etapy w drodze do liczb rzeczywistych są zwykle prezentowane w taki sposób:

liczny naturalne N

liczby całkowite C
(w innych krajach zwykle Z )

liczby wymierne W


(w innych krajach zwykle Q )

liczby rzeczywiste R.

Brakuje na tej liście liczb dziesiętnych D.

Kalkulatory posługują się przede wszystkim liczbami dziesiętnymi. Liczby dziesiętne łatwo umieszcza się na osi liczbowej i łatwo też jest ustalić, która z nich jest mniejsza, a która większa. Wartości ułamków najłatwiej porównujemy przez podzielenie licznika przez mianownik i otrzymanie odpowiedniego przybliżenia dziesiętnego na osi liczbowej. Dlatego w dzisiejszych czasach najlepsza droga do liczb rzeczywistych prowadzi poprzez liczby dziesiętne, a nie liczby wymierne, postrzegane jako wartości ułamków:


NCD R,

tzn. liczby naturalne zanurzamy w liczbach całkowitych, potem w dziesiętnych, potem w rzeczywistych. Na początku omijamy liczby wymierne. Wracamy do nich potem, szukając ułamka, który odpowiada danemu rozwinięciu dziesiętnemu okresowemu, i mamy:


N C D W R.
W Podstawie programowej liczby dziesiętne nie są wymieniane po imieniu. Ale na samym początku działu Matematyka, stwierdza się tam wyraźnie, że posługiwanie się kalkulatorami wypiera rachowanie w starym stylu i pozwala na ominięcie żmudnych rachunków, co przyczynia się do tego, że matematyka może stać się atrakcyjna dla szerszego kręgu uczniów. Liczby dziesiętne same wysuwają się wtedy na pierwszy plan. Posługiwanie się kalkulatorem jest silnym bodźcem do wykonywania sporej liczby rachunków i oszacowań „w głowie”. Uczniowie mogą się w tym ćwiczyć nawzajem lub nawet w pojedynkę tak, jak uczą się grać na instrumencie. Sami się wtedy mogą sprawdzać i korygować obliczenia wykonywane w głowie, gdy mają ten instrument rachunkowy w ręku.
Poznaj swój 4-działaniowy kalkulator
Chodzi na początek o ten najprostszy czterodziałaniowy, jaki na pewno macie. Taki kalkulator kosztuje mniej więcej 4 czy 5 zł.

Bardzo jest ważne, aby zgrabnie zapisywać przebieg obliczenia. Każde obliczenie jest dialogiem z kalkulatorem. Ty mu coś wpiszesz, to znaczy zadasz jakieś pytanie za pomocą wpisu z klawiatury, a kalkulator Ci coś odpowie. Zadasz następne pytanie, a on Ci znów coś odpowie. To, co my wpisujemy, to jest nasze pytanie, zanotujemy z odstępem sześciu spacji od brzegu kartki. To co odpowiada kalkulator zapisujemy od samego brzegu kartki.

Na przykład na moim kalkulatorze jest tak:

2+3 =


5

=

8



=

11

=



14

=

17



Wynik dodawania nie zależy od kolejności argumentów, ale uwaga, powtórzenie prośby o wynik znakiem „równa się”:

=

powoduje dodanie drugiego argumentu do wyniku. Sprawdź, czy tak samo jest na Twoim kalkulatorze.



Teraz zobaczymy, czy podobnie jest z działaniem mnożenia:

2×3=


6

=

12



=

24

=



48

Widać, że przy mnożeniu jest inaczej. Powtórzenie prośby o wynik znakiem „równa się” powoduje pomnożenie wyniku przez pierwszą wpisaną liczbę, pierwszy czynnik. Sprawdź, czy tak jest zawsze z innymi liczbami.



(Sprawdź, jak to jest przy odejmowaniu i dzieleniu, i zapamiętaj)
Jeżeli w okienku kalkulatora jest np. liczba 48:

48

i naciśniemy klawisz M+, to w oknie kalkulatora nadal będzie liczba 48 i dodatkowo pojawi się mała literka M, która daje znać, że w pamięci kalkulatora jest jakaś liczba różna od zera.



M+

M 48

Ta zapamiętana przez kalkulator liczba nie zmienia się przy wykonywaniu obliczeń, ale możemy do niej coś dodać klawiszem M+ lub odjąć klawiszem M–. Na przykład:

2×48 =

M 96

=

M 192

=

M 384
Aby przywołać to, co zostało zapisane w pamięci, trzeba nacisnąć klawisz MRC (Memory Recall). Spróbujmy. Komentarz będziemy zapisywać zmniejszoną czcionką w szpiczastych nawiasach:

MRC


M 48

MRC


48
M
znikło>

=

96 <48 weszło do drugiego miejsca w rejestrze, w pierwszym było ciągle 2>



=

192
Sprawdzimy teraz, co jest w pamięci, naciskając klawisz MRC:

MRC

0



M+

0

MRC



0

Czy tak jest na Twoim kalkulatorze?


W pamięci i w okienku po włączeniu kalkulatora jest zwykle zero

ON/C


0

MRC


0

Jak kalkulator zareaguje, gdy będziemy mnożyć przez kolejne liczby jeden razy dwa razy trzy i tak dalej:

1×2 =

2

×3 =



6

×4 =


24

×5 =


120

×6 =


720

×7 =


5040

×8 =


40320

×9 =


362880

×10 =


3628800

×11 =


39916800

×12 =


E 4.7900160
W ten sposób kalkulator zasygnalizował błąd, jednocześnie miejsce, w którym pokazała się kropka, pokazuje nam, ilu cyfr brakuje z prawej strony do pełnego wyniku. Pokazując wynik ostatniego obliczenia kalkulator „obciął” jedno miejsce i klawiatura zablokowała się. Aby ją odblokować, trzeba nacisnąć klawisz ON/CE (na niektórych kalkulatorach) albo wyłączyć i włączyć kalkulator ponownie. W rezultacie kalkulator się odblokowuje, ale tracimy to, co było wpisane i w okienku pojawia się zero. W innych kalkulatorach, gdy są dwa klawisze, np. jeden klawisz ON/C, a drugi klawisz CE, wtedy naciśnięcie klawisza CE odblokowuje klawiaturę i w okienku mamy ostatnio pokazaną liczbę. W tym przypadku będzie to

4.7900160

i kalkulator traktuje ten wynik jak liczbę dziesiętną z cyfrą jedności 4 oddzieloną kropką dziesiętną od dalszych cyfr mniej znaczących.

Pomnożymy tę liczbę przez 10 i zobaczymy, co wtedy pokaże się w okienku.

×10 =

47.90016


×10 =

479.0016


Kalkulator nie pokazał więcej cyfr wyniku. Najwidoczniej zachowuje tylko osiem najbardziej znaczących cyfr wyniku, a resztę cyfr po prostu gubi. Można powiedzieć obrazowo, że obcina wynik i pokazuje tylko 8 cyfr.

Zbadamy, jak to jest przy dzieleniu:

2÷3 =

0.6666666



×3 =

1.9999998

Spróbujmy jeszcze:

1÷ 9 =


0.1111111

×2 =


0.2222222

×3 =


0.6666666

5÷9 =


0.5555555

7÷9 =


0.7777777

8÷9 =


0.8888888
Te rachunki potwierdzają, że kalkulator obcina te cyfry wyniku, których nie może zmieścić w okienku i nie pamięta ich, nie zaokrągla wyniku „w górę”
Iloczyn kolejnych liczb naturalnych oznaczamy zwykle wykrzyknikiem:

2! = 2 i mówimy „dwa silnia”

3! = 6 trzy silnia

4! = 24 cztery silnia

i tak dalej.

Te liczby szybko rosną. Kalkulator mógł obliczyć 11!, ale liczba 12! była dla niego za duża.


Zróbmy to obliczenie jeszcze raz, zapisując każde naciśnięcie klawisza osobno. Zauważ, że wprowadzenie następnego działania powoduje wykonanie poprzedniego:

2

2



×3

3

×



6

4

4



×

24

×5



5

×

120



×6

6

×



720

×7

7



×

5040


×8

8

×



40320
i tak dalej. W przyszłości będziemy raczej unikać takich rozwlekłych zapisów.
Już po takich wstępnych zajęciach z kalkulatorem można zadać uczniom pytanie: Co znaczy znak równości = na kalkulatorze?

Nie należy uczniom za mocno sugerować odpowiedzi, jednak konkluzja jest konieczna. Na kalkulatorze znak równości znaczy „proszę o wynik”. Język, którym porozumiewamy się z kalkulatorem, ma swoje utarte zwyczaje, inne niż „formalnie poprawne” zapisy w szkolnym zeszycie. W dialogu z kalkulatorem znak równości jest



  1   2   3   4   5


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna