Kalkujlator potęgi z wykładnikiem rzeczywistym



Pobieranie 0,51 Mb.
Strona1/4
Data18.04.2018
Rozmiar0,51 Mb.
  1   2   3   4

Na drugim etapie nauczania blokowego, czyli w klasach 4-6 SP

01 Poznaj swój kalkulator

Chodzi na początek o ten najprostszy czterodziałaniowy, jaki na pewno macie. Jeszcze nie taki, jak ten „Apollo” z symbolem podstawiania →.
Na moim kalkulatorze jest tak:
2+3=

5

=



8

=

11



=

14

=



17

2×3=


6

=

12



=

24

=



48

M+

M 48

=

M 48

=



M 48

=

M 48


+

M 48

+ < tu dalsze naciskanie + nic nie zmienia >



M 48

+

M 48

=

M 48

=

M 96 < dopiero podwójne pogłaskanie znaku = dodało 48 do 48 >

M+

M 96 < 96 zostało dodane do tego, co było w pamięci M, w oknie zostało 96 >

MRC


M 144 < zgadza się, bo w pamiędci było ciągle 48 >

MRC


144 < powtórne wywołanie pamięci M wyzerowało pamięć, M znikło >

=

192 < ale drugim rejestrze zosatało 48 i zostało dodane do 144 >



=

240 < i jeszcze raz zosatało 48 zostało dodane do aktrualnego wyniku >

MRC

0



M+

0

MRC



0
Wynik dodawania nie zależy od kolejności argumentów, ale uwaga, powtórzenie prośby o wynik znakiem „równa się”

=

powoduje dodanie drugiego argumentu do wyniku.


Przy mnożeniu jest inaczej. Wynik mnożenia też nie zależy od kolejności argumentów. Ale powtórzenie prośby o wynik znakiem „równa się”

=

powoduje pomnożenie wyniku przez pierwszy argument.



Czy tak jest na Waszym kalkulatorze?
W pamięci po włączeniu kalkulatora jest zwykle zero

ON/C


0

MRC


0

Ale dodanie do pamięci liczby różnej od zera jest sygnalizowane małym znaczkiem M

Na przykład:

5 M+


M 5 M sygnalizuje, że M jest różne od 0>

5 M+


M 5

MRC


M 10

MRC


10 M zniknął. To znaczy, że M jest równe 0>

MRC


10 M już nie ma, ale w oknie nadal jest 10>

MRC


10
Na podstawie tego przykładowego opisu, co robi kalkulator, zaprojektuj zajęcia zapoznające uczniów z tym, co robi taki najprostszy kalkulator.
Zajęcia mogą mieć np. tytuł „Zbadaj swój czterodziałaniowy kalkulator”.

Potem jedno z pytań może być też takie:

Jak działa kalkulator w twojej komórce? czy tak samo?

Kalkulator może być źródłem wielu prostych tematów, które mogą być pozostawione uczniom samym do zbadania. Jednym z takich tematów jest zbadanie operacji odwrotnych do dodawania i odwrotnych do mnożenia. Tak postawione zadanie wymaga pewnej dojrzałości od ucznia i pewnego obycia z kalkulatorem ze strony nauczyciela.




1.2

Innym zadaniem do zbadania jest, co się stanie, gdy znak działania wpiszemy do kalkulatora przed wprowadzeniem liczby i znakiem równości (którym poprosimy o wynik). Np. tak


ON/C

0

+23=



23

=

46



=

69 < pierwsze użycie znaku = nic nie zmienia, drugie i następne powodują dodanie wpisanej początkowo liczby. Spróbujemy, jak to jest ze znakiem minus - >

ON/C

0

-2



2

=

-2 < teraz zmienił znak dwójki i pokazał -2 >



=

-4 < do minus dwójki, -2, dodał minus dwójkę i pokazał -4 >

=

-6 < do minus czwórki, -4, dodał minus dwójkę i pokazał -6 >



=

co teraz pokaże jako wynik?


1. 3 Po drugiej stronie zera

Zobaczymy jak to jest z liczbami ujemnymi.

-2×-2=


-4

=

-6



=

-8


No to spróbujmy inaczej. Zapamietajmy liczbzę ujemną w pamięci M.

ON/C


0

2 M–


M 2 < sygnalizuje, że coś ma w pamięci, wiemy, ze to powinna być minus dwójka. Zobaczymy co zrobi, jak pomnożymy te minus dwójkę przez to, co pokazuje tj. przez 2 >

× MRC=


M –4

× MRC


M 8

× MRC


M –16

× MRC


M 32
Pomnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak: przenosi liczbę na drugą stronę zera.

1.4 Branie odwrotności

2÷ =

.5

÷ =



2

÷ =


.5

4÷ =


0.25

÷ =


4

-5 =



-5

÷ =


-0.2

÷ =


-5


1.5

Jaka jest największa liczba na tym kalkulatorze?

O tym można mówić już w nauczaniu wczesnoszkolnym.
ON/C MRC MRC

0

99999999



99999999

+1 =


E 1.0000000

ON/C


0

Ale


99999999÷

0

Kalkulator nie odróżnia odwrotności liczby 99999999 od zera.


A zobaczmy co będzie z działaniami dzielenia. Najpierw spróbujemy dzielenie przez 10.

ON/C


0

10÷10 =


10

=

1



=

0.1


=

0.01


=

0.001


=

0.0001


=

0.00001


=

0.000001


=

0.0000001

=

0

×2=



0

Ten kalkulator nie odróżnia liczby mniejszej od 0.0000001 od zera.


ON/C

0

10÷2 =



5

=

2.5



=

1.25


=

0.625


=

0.3125


=

0.15625


=

0.078125


=

0.0390625

Jak te liczby zaznaczyć na osi liczbowej?

ON/C


0

÷2=


0

2÷ =


0.5

÷ =


2

÷ =


0.5

7 ÷ =


0.1428571

÷ =


7.0000021

÷ =


0.1428571

÷ =


7.0000021

3 ÷ =


0.3333333

÷ =


3.0000003

÷ =


0.3333333

÷ =


3.0000003

2÷3 =


0.6666666

÷ =


1.5000001

÷ =


0.6666666

÷ =


1.5000001

M+

M 1.5000001

÷ =

M 0.6666666

x MRC =


M 0.9999999

MRC


M 1.5000001

MRC


1.5000001
Zauważ, że gdy już zobaczymy z uczniami, a może nawet trzeba powiedzieć „odkryjemy” z nimi, że pomnożenie przez -1, przenosi liczbę z jednej strony zera na drugą, wtedy mamy nowe, geometryczne uzasadnienie, że „minus razy minus jest plus”. Taka geometryczna argumentacja powinna pojawić się w odpowiednim momencie, ale w zasadzie im wcześniej tym lepiej. Taki sposób wyjasnienia tej dziwnej zasady „minus razy minus jest plus” daje zupełnie inny sposób jej rozumienia. To jest przykład rozumienia strukturalnego. Krygowska odróżnia trzy rodzaje rozumienia:

rozumienie formalne

rozumienie operatywne

rozumienie strukturalne.

Rozumienie formalne daje np. wyprowadzenie tej zasady z równości (a+ (-a)) = 0, która pomnożona przez -b i przez wymuszenie rozdzielności dodawania względem mnożenia i regułki o zmianie znaku przy przenoszeniu „na drugą stronę” daje

-ba+ (-b)(-a) = 0, (-b)(-a) = ba .


Rozumienie operatywne natomiast polega na sprawnym wykonywaniu tych i podobnych rachunków przy przyjęciu pewnych reguł bez wgłębiania się w to, skąd się te regułki biorą.

Dalsze przykłady. Procenty


Pod wpływem konkurencji Bank „4U”, który niedawno otworzył siedzibę za rogiem, chce zaoferować swoim klientom taki procent, aby niektórzy z nich po pięciu latach mogli podwoić swój kapitał. Jaki procent musi im zaoferować rocznie?
Próbujemy:
1.10 × 100 =

110


=

121


=

133.1


=

146.41


=

161.051 < za mało, po pięciu latach osiagaliby tylko okolo 160 PLN >

Powiększymy oprocentowanie w skali 1.15

1.15 × 100 =


115 < tyle po roku >

=

132.25 < tyle po dwóch latach >



=

152.0875 < tyle po trzech >

=

174.90062 < tyle po pięciu >



=

201.13571 < tyle po sześciu, lekko przekracza 200 PLN, to o rok za długo >


No to spróbujmy dać troszkę więcej, 16%, czyli powiększenie kapitału w skali 1.16 rocznie.
1.16 x 100 =

116


=

134.56


=

156.0896


=

181.06393

=

210.03415 < to trochę za dużo, nie trzeba przesadzać >


Spróbujmy dać 15.5% rocznie, czyli powiększenie kapitału tylko o .05 punktu procentowego więcej, to znaczy rocznie w skali 1.155.
1.155 × 100 =

115.5


=

133.4025


=

154.07988

=

177.96226



=

205.54641 < trochę za dużo, ale niech im będzie! >

Dajemy 15.5 % rocznie. Zobaczymy ilu klientów się skusi.

Hej, znalazł się klient, który chce żeby mu odsetki dopisywać co pół roku. Główny menadżer się zastanawia, jakie tego będą konsekwencje. Po pół roku należy mu się przecież nie 15.5% punktu procentowego więcej, ale połowa tego tj. 7.75%. No to spóbujemy.

Policzymy, co będzie z tego miał:
1.0755 × 100 =

107.55


=

115.67002 < po pierwszym roku >

=

124.4031


=

133.79553 < po drugim roku >

=

143.89709



=

154.76132 < po trzecim roku >

=

166.44579



=

179.01244 < po czwartym roku >

=

192.52787



=

207.06372 < po piątym roku >

A ile to by było gdyby dopisywać co kwartał odsetki?
Po kwartale to by było 3.775% . Spróbujmy
1.03775 × 100 =

103.775 < po pierwszym kwartale, ale ... >

= = =

115.97675 < po pierwszym roku >



= = = =

134.50605 < po drugim roku >

= = = =

155.99574 < po trzecim roku >



= = = =

180.91878 < po czwartym roku >

= = = =

209.82372 < po piątym roku >


Nasz klient to spryciarz, chce nas robić w konia!

A gdyby chciał je dopisywać co miesiąc?


A gdyby tak dopisywać te odsetki do kapitału co tydzień?

Spróbujcie zrobić odpowiednie obliczenia sami.


Radzę wziąć lepszy kalkulator taki, który ma potęgowanie i odpowiedzieć na pytanie, co by było gdyby odsetki dopisywać codziennie... W roku jest 365 dni, a więc…
= 2.714567482 < to by było, gdyby codziennie >

< co godzina to by było 24x365 = 8760 razy, no to weźmy 10 000 godzin >

= 2.718145927 Ale spróbujmy… co sekundę, a może jeszcze częściej…



  1   2   3   4


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna