Funkcja różnowartościową, jeśli różnym elementom zbioru X funkcja przyporządkowuje różne wartości w zbiorze Y. Funkcja „na” Funkcja f: X y jest funkcją przekształcającą zbiór X na Y



Pobieranie 188,63 Kb.
Strona1/2
Data01.03.2018
Rozmiar188,63 Kb.
  1   2

FUNKCJE



FUNKCJE
Pojęcie funkcji, aczkolwiek było od dość dawna używane przez matematyków doczekało się stosunkowo dość późno precyzacji za sprawą G. Peano w terminach teorii relacji.
Def 1. Funkcją f określona na zbiorze X (zwanego dziedziną funkcji), o wartościach należących do zbioru Y (zwanego przeciwdziedziną), nazywamy relację R, która każdemu elementowi dziedziny, przyporządkowuje jeden i tylko jeden przedmiot przeciwdziedziny, co oznaczamy f: X Y, a czytamy zazwyczaj funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y, co można opisać poniższym diagramem:.

x . f(x)

Funkcje określamy dwoma sposobami:
a) postać algebraiczna

podając zbiór X na którym jest określona i regułę lub wzór f(x) dla każdego x X.




  1. postać graficzna

podając podzbiór U par uporządkowanych  x, y iloczynu kartezjańskiego X  Y takich, że

y = f(x)  x, y f.

Rodzaje funkcji
1. Funkcja różnowartościowa

Funkcja f: X Y jest funkcja różnowartościową, jeśli różnym elementom zbioru X funkcja przyporządkowuje różne wartości w zbiorze Y.


2. Funkcja „na”

Funkcja f: X Y jest funkcją przekształcającą zbiór X na Y, jeśli dla każdego yY, istnieje takie x, że y = f(x), tzn. każdy element przeciwdziedziny jest wartościa funkcji dla jakiegoś argumentu.


3. Funkcja jako przekształcenie wzajemnie jednoznaczne:

Funkcję f: X Y nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym wtw. gdy jest różnowartościowa i przekształca zbiór X na Y.


Ex 42. Określ rodzaj funkcji

       

      

       

     

     


a) b) c) d)

  1. funkcja „na”

  2. funkcja różnowartościowa

  3. przekształcenie wzajemnie jednoznaczne

  4. przekształcenie nie jest funkcją


Ex. 43. Niech X={1, 2, 3, 4, 5} i weźmy następujące funkcje ze zbioru X w zbiór X

f(n) = 6-n

g(n) = max{3, n}

h(x)= max{1, n-1}

- zapisz każdą z tych funkcji jako zbiór par uporządkowanych, tzn. wypisz elementy ich wykresów

- naszkicuj wykres każdej z tych funkcji

- które z tych funkcji są jednocześnie różnowartościowe i „na”
Operacje na funkcjach
1. Superpozycja

Niech będą dane funkcje f: X Y i g: Y Z. Dla każdego elementu xX istnieje wówczas dokładnie jeden element zZ, taki że z =g(f(x)). Funkcje f i g wyznaczają więc nową funkcję h: X Z określoną w następujący sposób: h(x) = g(f(x)) dla każdego xX. Funkcję h nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji f i g i oznaczamy symbolem gf. Z definicji mamy: (gf)(x) = g(f(x))


f g




gf

Ex. 44. Niech f(x)= x2 a g(x) = x+1. Niżej podane funkcje wyraź za pomocą funkcji f i g

  1. h(x)= x2 +1 h(x)=( gf) (x)

b) h(x)= (x +1)2 h(x)=( fg) (x)

c) h(x)= x +2 h(x)=( gg) (x) = g2(x)

d) h(x)= x4 h(x)=( ff ) (x) = f 2(x)

e) h(x)= (x2 +1)2 h(x)= f ( fg ) (x)

f) h(x)= (x +2)2 h(x)= f ( g  g ) (x)

2. Odwracanie funkcji

Funkcję g: Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X Y jeżeli y = f(x)(zbiór argumentów funkcji g jest zbiorem wartości funkcji f) a x= g(y) (zbiór argumentów funkcji f jest zbiorem wartości funkcji g) i dla każdego x X zachodzi równość g(f(x)) = x. Funkcję g oznaczamy symbolem f -1. Funkcje, które posiadają funkcje odwrotne nazywamy funkcjami odwracalnymi.



f




f –1

Ex 45. Znajdź funkcje odwrotne następujących funkcji, przedstawiając je w podobnej formie np. f(x) = 2x f –1(x) =

  1. f(x)= 2x – 3

  2. f(x)= 3 - 5x



d)

e)

Funkcja identycznościowa

Funkcję f : XX przekształcającą każdy x X na samego siebie nazywamy funkcja identycznościową i oznaczamy I.

I(x) = x
Funkcja stała

Funkcję f : XY nazywamy funkcją stała, jeśli istnieje element y0Y taki, że f(x)= y0 dla wszystkich x X.


Funkcja charakterystyczna

Weźmy zbiór X i jego podzbiór A. Funkcję określoną na zbiorze X, która przyjmuje wartość 1 dla elementów x A i wartość 0 dla xA, nazywamy funkcja charakterystyczna zbioru A i oznaczamy A.


1 dla x A

A =


0 dla xA


  1   2


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna