Fraktal łac



Pobieranie 0,7 Mb.
Strona1/14
Data25.10.2017
Rozmiar0,7 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Ciekawe fraktale / atraktory (np. z uzyciem darmowej aplikacji graficznej typu ChaosPro).

Def. Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:

  • ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

  • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,

  • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,

  • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,

  • ma względnie prostą definicję rekurencyjną,

  • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy, pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg notowań giełdowych, liczba rzeczywista)

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość. Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.


Historia


Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX w. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abram Samoilovitch Besicovitch, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze.


Występowanie i użycie fraktali


Rozważ amazoński system rzeczny. Metoda zliczającego pudełka może zostać użyta, aby określić jego fraktalny wymiar, dając Db=1.85. Dla porównania fraktalny wymiar Nilu wynosi około 1.4. Rozgałęzienie drzewa wygląda jak to rzeki i jego fraktalny wymiar zawiera się między 1.3 i 1.8, ze średnią 1.5. Kształt rozładowań błyskawicy jest podobny do rzek. Wymiar fraktalny w tym przypadku wynosi około 1.7. Rozważ prześwit rozmieszczenia naczyń krwionośnych w skrzydłach nietoperza. Jeśli N(r) jest liczbą naczyń grubszych niż r, wtedy .Dany zmienno-czasowy sygnał można rozważyć jako widmo mocy, to jest, transformatę Fouriera mocy. Widmo mocy pokazuje względną wielkość różnych komponentów częstotliwości w sygnale. Stwierdzono doświadczalnie, że zmienność (albo szum) w wielu sztucznych i naturalnych układach ma widmo mocy postaci f -a, gdzie a~1. Ogólnie odnosi się to do prawa "1/f". Zauważ, że jeśli a=0, wtedy wszystkie częstotliwości miałyby tę samą wielkość (wahania są przypadkowe) i byłby szum biały. Dla a bliskiego jedynki, zaobserwowano niższe częstotliwości dominujące i "różowy szum". Szum 1/f został zaobserwowany w obwodach prądu elektrycznego, w zmienności napięcia komórek nerwowych, uderzeń serca a nawet w muzyce. To powszechne zjawisko, które nie może być spowodowane przez przypadkowe wahania, które dają początek białemu szumowi, domaga się prostego wytłumaczenia, ale nie ma aktualnie żadnego (widać jednakże późniejszą uchwałę samozorganizowanej krytyki). Szum 1/f jest oczywiście fraktalem z powodu jego samopodobieństwa. W końcu, jeśli , jest "brązowy szum", który dla sygnałów audio brzmi tępo i nie jest zaobserwowany w naturze. A zatem wydaje się, że naturalnie występujący i interesujący "szum 1/f" jest rozważany między przypadkowością białego szumu i nieostrością brązowego szumu. Spójrz na obraz rozgałęzionych przewodów powietrza w płucu, rozgałęzienie naczyń krwionośnych w ludzkim ciele, albo fałdy na powierzchni mózgu.

Dlaczego natura powinna projektować taką fraktalną strukturę? Przypomnijmy dla przykładu, że krzywa Kocha może zamieścić długie długości w małych obszarach. W ten sposób natura widocznie maksymalizuje funkcjonalną efektywność, wykorzystując minimalną przestrzeń przez zastosowanie struktur fraktalnych. Obrazy fraktali zostały użyte przy tworzeniu obrazu w filmach science-fiction (np. Gwiezdne Wojny), jak również przy kompresji danych.



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna