Czy klocki słUŻĄ tylko do zabawy



Pobieranie 0,51 Mb.
Strona3/6
Data24.02.2019
Rozmiar0,51 Mb.
1   2   3   4   5   6

Uogólnienie dla sześcianów

Po zebraniu klocków (z pomocą uczestników) zapisujemy na tablicy kolejną sumę do obliczenia:

E. 13 + 23 + 33 + ... + 1003.

Szacujemy wspólnie, że wynik jest wielomilionowy. Zanim rozdamy nowe klocki, trzeba dokładnie wytłumaczyć na tablicy lub na folii co będziemy robili. Klocki w drugim zestawie są „kwadratami” (prostopadłościanami o podstawie kwadratu i wysokości jeden). Każdy uczestnik będzie musiał zbudować poniższy układ brył reprezentujący szukaną sumę.



Oczywiście tak jak poprzednio zwiększamy w wyobraźni liczbę klocków. Kolejnym etapem będzie praca w zespołach czteroosobowych na złączonych ławkach. Łącznie zespół będzie dysponował następującym układem brył.

Po tym objaśnieniu młodzież łączy ławki po dwie i rozdawane są pudełka z klockami. Ponieważ klocków jest więcej niż potrzeba (będą wykorzystane w kolejnym ćwiczeniu), ważne jest, aby zbędne klocki spakować do pudełek i odstawić na bok. Dopiero gdy wszystkie zespoły są gotowe, można wydać kolejne polecenie:
Układamy wielki płaski kwadrat!

Wszystkie klocki muszą zostać wykorzystane. Młodzież chętnie bierze się do pracy. Czas jaki mija do pojawienia się pierwszego kwadratu bywa różny. Często wyróżniają się na tym etapie uczniowie, którzy nie zdradzali wcześniej zainteresowań matematycznych (potwierdzają to nauczyciele biorący udział w zajęciach). Najczęściej pojawia się poniższe rozwiązanie.



Możliwe są też inne. Jeżeli zespół ułoży duży kwadrat, zastanawia się nad jego rozmiarem. Jeżeli znamy bok kwadratu, to łatwo obliczymy szukaną sumę. Wystarczy tę liczbę podnieść do kwadratu i podzielić przez cztery. Obliczenie boku sprawiało istotną trudność. Często podawano mylną odpowiedź: pięćset. Omówimy teraz dwa sposoby ustalenia boku.

Sposób I. Duży kwadrat można w wyobraźni rozłożyć na „pierścienie” (strefy) zbudowane z kwadratów jednakowego rozmiaru. I tak w środku mamy strefę kwadratów jednostkowych. Strefa ta jest otoczona pierścieniem kwadratów o boku dwa, następnie występują strefy kwadratów o boku trzy i cztery. W wyobraźni widzimy kolejne strefy aż do stu. Dostrzegamy, że połowa boku dużego kwadratu jest sumą szerokości wszystkich stref, czyli jest równa 1+2+3+...+100 = 5050. Zatem cały bok ma 25050 = 10.100 (jednostek).

Sposób II. Obserwujemy jak zmienia się rozmiar dużego kwadratu, gdy uwzględniamy coraz większe klocki. Najpierw krawędź była określona przez dwa kwadraty o boku jeden, później przez trzy kwadraty o boku dwa, cztery kwadraty o boku trzy i pięć kwadratów o boku cztery. Dostrzegamy, że liczba kwadratów na brzegu jest o jeden większa od boku kwadratu. Gdybyśmy więc rzeczywiście dysponowali klockami aż do rozmiaru sto, to na ostatnim pierścieniu mielibyśmy sto jeden kwadratów o boku sto, czyli bok dużego kwadratu wynosi 100101 = 10.100. Sposób ten był często samodzielnie znajdowany przez młodzież.

W obu przypadkach dostajemy rozwiązanie, które zapisujemy na tablicy:



13 + 23 + 33 + ... + 1003 = = 25.502.500.

Osoby, które zrozumiały mogą obliczać kolejne sumy:

F. 13 + 23 + 33 + ... + 2003,

G. 13 + 23 + 33 + ... + n3 .



Znowu mamy chwilę czasu na indywidualne tłumaczenie. Tutaj bardziej przekonujący okazywał się pierwszy sposób. Dobry skutek dawało układanie kolejno pierwszych czterech klocków z pierwszego zestawu na powierzchni dużego kwadratu.

– Te klocki reprezentują sumę liczb po kolei od jeden do sto. Ile wynosi ta suma? – można podnieść klocki do góry, młodzież szuka wyniku we wcześniejszych obliczeniach.

– Pięć tysięcy pięćdziesiąt.

– Ale bok dużego kwadratu ma dwa takie odcinki – przykładamy dwa razy naszą miarkę. – Czyli ile ma krawędź?

– Dziesięć tysięcy sto.



Zamknięciem tego etapu jest wspólne zakończenie przykładów F i G na tablicy. Zazwyczaj młodzież dyktuje nam poprawne rozwiązania:

13 + 23 + 33 + ... + 2003 = = 404.010.000 ,

13 + 23 + 33 + ... + n3 = = n2(n+1)2.

1   2   3   4   5   6


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna