Czy klocki słUŻĄ tylko do zabawy



Pobieranie 0,51 Mb.
Strona1/6
Data24.02.2019
Rozmiar0,51 Mb.
  1   2   3   4   5   6

III Kielecki Festiwal Nauki, 6–15 września 2002

Prezentacje Festiwalowe pod redakcją Krzysztofa Grysy

Kielce 2003, str. 100-106
CZY KLOCKI SŁUŻĄ TYLKO DO ZABAWY? –

UOGÓLNIENIA POMYSŁU MAŁEGO GAUSSA


Andrzej Lenarcik

Katedra Matematyki

Politechnika Świętokrzyska
Wstęp

W słynnej książeczce Inżyniera S. Jeleńskiego Lilavati można przeczytać ciekawą anegdotę o Karolu Gaussie, wybitnym matematyku niemieckim żyjącym na przełomie osiemnastego i dziewiętnastego wieku. Mały Karol zaczął chodzić do szkoły w wieku siedmiu lat. Pewnego razu, nauczyciel – chcąc mieć trochę czasu na sprawdzenie klasówek – zadał dzieciom zadanie, które miało im wypełnić cała lekcję. Chodziło o dodanie dużej ilości kolejnych liczb, powiedzmy po kolei od jeden do sto. Gauss popsuł nauczycielowi plan, gdyż od razu znalazł rozwiązanie i położył według zwyczaju zamknięty zeszyt na katedrze. Nauczyciel potraktował to jako żart i postanowił upomnieć „niesfornego” ucznia po lekcjach. Gdy pod koniec zajęć inni uczniowie oddawali zeszyty, mało kto uzyskał poprawny wynik. Nauczyciel otworzył wreszcie zeszyt Gaussa. Widniał tam bezbłędny wynik bez żadnych obliczeń!

Opowieść ta stała się inspiracją niniejszej prezentacji festiwalowej. Celem było powtórzenie rozumowania Gaussa za pomocą klocków, tak żeby wynik był oczywisty oraz uogólnienie pomysłu na przypadek sumy potęg kolejnych liczb. Po co ta gimnastyka? Młodzi ludzie ze zrozumieniem odnoszą się do konieczności ćwiczeń fizycznych – wzmacniających organizm w trudnym okresie dorastania. Chłopcy podciągają się na drążku i codziennie rano mierzą sobie obwód bicepsu, dziewczęta zaś uprawiają różne dyscypliny gimnastyczne o tajemniczo-brzmiących nazwach jak aerobic, czy callanetix. I tak samo jak treningu potrzebuje nasze ciało, aby mogło sprawnie funkcjonować, tak samo potrzebują treningu młode głowy, żeby lepiej myślały. Te myślące głowy są największym skarbem w Kraju, w którym banki nie pękają od złota i trudno jest znaleźć pracę. Trzeba dobrze myśleć, żeby kiedyś pomóc sobie, swojej rodzinie i swojej Ojczyźnie.

Dwa powyższe akapity zawierają myśli, od których rozpoczynała się prawie każda z trzydziestu ośmiu prezentacji, które odbyły się w okresie od września 2002 do maja 2003. W zajęciach brali udział uczniowie począwszy od klasy szóstej szkoły podstawowej poprzez wszystkie klasy gimnazjum i liceum. Na początku prezentacji wszyscy uczestnicy byli zachęcani do zadawania pytań. To bardzo ważne, żeby umieć poprosić o wytłumaczenie; przyznać się, że się czegoś nie rozumie. To wielka życiowa umiejętność!



Jak to zrobił mały Gauss?

Przed rozdaniem klocków zawsze trzeba było zapytać, czy ktoś już wie ile wynosi suma



A.1 + 2 + 3 + ... + 100 ?

Jest godne podkreślenia, że prawie na każdych zajęciach (nie tylko w liceum) można było usłyszeć poprawny wynik. Wniosek: mamy dużo „małych Gaussów”. Rozumowali oni prawie zawsze tak samo. Liczby trzeba połączyć w pary: pierwszą i ostatnią, drugą i przedostatnią, itd. Za każdym razem otrzymujemy sumę 101. Par jest pięćdziesiąt, czyli wynikiem jest 10150 = 5050.

Wynik ten można powtórzyć nieco inną metodą za pomocą klocków. Każdy otrzymywał pierwszy zestaw z poleceniem ułożenia „schodków”.



Klocki są jednokolorowe, bez napisów, mają przekrój kwadratu o boku 2.5cm (to jest nasza jednostka). Klocki reprezentują kolejne liczby naturalne. W tym momencie młodzież była zachęcana do posłużenia się wyobraźnią w celu zwiększenia liczby klocków do stu. Nie chodzi tutaj o przeskalowanie klocków (powiększenie), ale o zwiększenie w wyobraźni ich liczby. Największy klocek miałby wysokość 2.5m, więc z powodzeniem mieściłby się w sali. Ale po co robić takie duże klocki skoro mamy szare komórki?! Następnie uczestnicy otrzymywali polecenie, aby w parach: z dwóch schodków zrobić jeden prostokąt. Różne rozwiązania pojawiały się momentalnie. Oto jedno z nich.





Prostokąt dobrze jest narysować na tablicy, bądź wyświetlić na folii. Reprezentuje on podwojoną sumę liczb od jeden do sto. Wystarczy zatem obliczyć jego pole i podzielić przez dwa. Wysokość prostokąta jest teraz równa sumie największego i najmniejszego klocka, czyli 101. Wzdłuż podstawy mamy wszystkie sto klocków, czyli 100 jednostek. Pole prostokąta wynosi 100101 (jednostek kwadratowych). Stąd

1 + 2 + 3 + ... + 100 = = 5050 .

Przechodzimy do obliczania sum:

B. 1 + 2 + 3 + ... + 200 ,

C. 1 + 2 + 3 + ... + 1000 ,

D. 1 + 2 + 3 + ... + n .

Młodzież pracuje na specjalnie przygotowanych ankietach rozdanych na początku zajęć. Jest dobry moment, żeby zadać pytanie:



  1   2   3   4   5   6


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna