17 ciekawych twierdzeń matematyki klasycznej i współczesnej



Pobieranie 2,45 Mb.
Strona1/19
Data24.02.2018
Rozmiar2,45 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

DIAMENTY MATEMATYKI
Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. Mowa o wzorze

ei π +1=0

.

Cóż w nim takiego szczególnego? Dlaczego wielu matematyków sądzi, że jest on "ładniejszy " od, na przykład, niewątpliwie prawdziwego związku "2+2=4"? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że wzór ei π +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Także i dziś, w matematyce współczesnej, definiuje się je całkiem odmiennymi sposobami - z wyjątkiem liczb 0 i 1, które w oczywisty sposób wydają się "podobne", różne od pozostałych trzech.



"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne (czyli: 1, 2, 3, 4,... itd.) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również 0.

Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań. Podobnie było przy użyciu rzymskiego systemu zapisu liczb. Jeśli ktoś ma wątpliwości, niech pomnoży przez siebie dwie liczby: CCCLX i DXXIII - ale bez tłumaczenia na układ dziesiętny. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej). Hindusi rozpowszechnili też system pozycyjny zapisywania liczb, choć przypuszcza się, że początkowo korzystali jedynie z dziewięciu cyfr odpowiadających naszym cyfrom od 1 do 9, zera zaś zaczęli używać znacznie później; nazywali je sunya, co miało znaczyć "pusty" lub "próżny". Dziesiętny system pozycyjny wraz z zerem przejęli od Hindusów Arabowie. Zwrot "pusty" przetłumaczyli mniej więcej na as-sifr, co z kolei przełożono na łacinę jako zephyrum. Od tego wyrazu wywodzi się słowo "zero", a także "cyfra".

Bardzo długo jednak zera nie traktowano jako liczby równouprawnionej z innymi. Zero oznaczało "nic", a "nic" nie może przecież być liczbą. Służyło ono do zapełniania dziur i pustych miejsc, co często prowadziło do nieporozumień, pomyłek i nadużyć. Jeszcze w XV wieku zero traktowano z dużą rezerwą. Na przykład równanie

x2-3x=0

przy użyciu ówczesnej symboliki zapisywano w wersji



x2=3x,

gdyż 0, jako nic nie oznaczające, nie powinno występować w równaniu. Systematycznie pomijano też rozwiązania zerowe. Opór związany ze stosowaniem zera został przełamany w XVI


i XVII wieku, gdy rozwinęły się techniki rachunkowe istotnie wykorzystujące system pozycyjny.

Zaliczenie zera do liczb naturalnych jest oczywiście kwestią umowy, ale ma swoje niebanalne uzasadnienie. Otóż jeśli liczby naturalne zdefiniuje się na gruncie teorii mnogości (czyli teorii zbiorów, w pewnym sensie najbardziej podstawowej), to korzystnie będzie uznać zero za liczbę naturalną; liczby naturalne określone są przy wykorzystaniu cech zbiorów skończonych, a 0 jest liczbą elementów zbioru pustego.

Warto dodać, że jedynka odgrywała wyjątkową rolę w arytmetyce starożytnych Greków. Nie uważali oni jedynki za liczbę, ale za coś w rodzaju "praliczby", czyli obiektu, który jedynie służył do tworzenia prawdziwych liczb. Według Greków pierwszą prawdziwą liczbą była dopiero dwójka.

Czym liczby 0 i 1 wyróżniają się spośród pozostałych liczb naturalnych, na czym polega ich wyjątkowość? Odpowiedź na to pytanie wiąże się z dwoma podstawowymi działaniami arytmetycznymi - dodawaniem i mnożeniem. Działanie (w jakimś zbiorze) to przyporządkowanie dwóm dowolnym elementom z tego zbioru elementu trzeciego. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych działaniami są: dodawanie, mnożenie, przyporządkowanie dwóm liczbom ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Oczywiście działania nie muszą być określone na zbiorach liczbowych, na przykład działaniem jest przyporządkowanie dwóm uczniom z jednej szkoły starszego z nich albo dwóm zbiorom ich części wspólnej. Licznych przykładów dostarcza geometria, działaniem jest składanie przekształceń. Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych! Żadnej liczby naturalnej nie otrzymamy bowiem w wyniku operacji 3-5 (albo 7-11). Odejmowanie jest natomiast działaniem w zbiorze liczb całkowitych (..., -3, -2, -1,0,1,2,...).

Przyporządkowywać dwóm elementom trzeci można oczywiście na całkowicie dowolne sposoby, przy czym działania mogą być bardzo różne. Jednakże te, nad którymi badania mają znaczenie, winny spełniać rozmaite dodatkowe warunki. Warunki te nie są zbyt wysublimowane, raczej naturalne, ale bez nich po prostu działania stają się mało interesujące. Jednym z takich ograniczeń jest żądanie, by w zbiorze istniał element neutralny - czyli taki, że działanie nim na dowolny inny element niczego nie zmienia, pozostawia ten drugi w tej samej postaci (i to niezależnie od kolejności działania). Tę własność ma jedynka przy mnożeniu, zero zaś przy dodawaniu. Istotnie:

1 × a = a × 1 = a
0 + a = a + 0 = a

Dzieje się tak dla dowolnej liczby a - zarówno naturalnej, jak i całkowitej, wymiernej czy rzeczywistej. Liczby 0 oraz 1 są zatem elementami neutralnymi dwóch podstawowych działań.

Liczby i e są daleko mniej "porządne" od zera i jedynki.

Jedną z pierwszych wielkich niespodzianek dotyczących liczb było odkrycie liczb niewymiernych. Przygoda ta przytrafiła się starożytnym Grekom, próbującym wyliczyć długość przekątnej kwadratu o danym boku. Okazało się wtedy, że stosunek długości przekątnej do boku nie jest liczbą wymierną, to znaczy nie da się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Dla Greków był to swego rodzaju szok, waliła się ich koncepcja filozoficzna świata, którym miały rządzić liczby naturalne oraz ich proporcje; nie przypuszczali, że takie obiekty (czyż można je nazwać liczbami?) mogą istnieć. My dziś w liczbie nie widzimy nic dziwnego...



Liczba ma podobny rodowód, choć przez tysiąclecia nikt nie zastanawiał się nad jej naturą. Ale już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się p) jest wielkością stałą i, co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. Tym niemniej dokładnej jego wartości nie udało się wyliczyć (a rozważali ten problem już Babilończycy dwa tysiące lat przed naszą erą; przyjmowali oni, że stosunek ten wynosi w przybliżeniu 3). Ciekawe, że w piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nam z imienia uczonych. Ponad dwa tysiące lat później, w III wieku przed Chrystusem, Archimedes, jeden z najwybitniejszych umysłów w historii, oszacował jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.

Używany dzisiaj symbol nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Matheseos ( pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"), a rozpowszechnił później Leonhard Euler (1707-1783). Liczba ta nazywana jest też ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było wyczynem nie lada. Stopniowo wyliczano z większą dokładnością; w 1974 roku Jean Guillod i Martine Bouyer rozwinęli do... milionowego miejsca po przecinku, oczywiście przy użyciu komputera. i na tym się nie skończyło, bo ambitnych nie brakuje. Jesienią 1995 ogłoszony został rekord wynoszący 6 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z komputerów wynosił około 5 dni.

Jak zapamiętać początkowe cyfry rozwinięcia ? Jedną z metod są wiersze i powiedzonka składające się ze słów o odpowiedniej liczbie liter. Najstarszy jest chyba tekst, którego autorem jest Clemens Brentano (1778-1842), wybitny poeta niemiecki okresu Romantyzmu, brat przyjaciółki Goethego:



Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
Co oznacza (w przekładzie Witolda Rybczyńskiego):

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach.

Rybczyński sam napisał (w 1949 roku), wzorując się właśnie na Brentano, jedno z najlepiej znanych polskich powiedzonek tego rodzaju; jego tekst zawierał 36 słów, gdyż właśnie tyle cyfr rozwinięcia obliczył van Ceulen. Starszym (najprawdopodobniej najstarszym polskim) jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,


Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,


Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.


Robota to potęga ludu!

Ten utwór został opublikowany w przedwojennym czasopiśmie "Parametr", poświęconym nauczaniu matematyki, w październiku 1930 roku. Autor zaproponował jednocześnie redakcji ogłoszenie konkursu na napisanie lepszego wiersza. Cwojdziński, który sam chciał być jurorem w konkursie, ufundował za najlepszy wiersz nagrodę w wysokości 50 złotych, jednocześnie oznajmiając, że "twórcy zbyt lichych wierszyków zapłacą karę do 10 złotych". Redakcja "Parametru", zamieszczając wiersz Cwojdzińskiego i informując o jego propozycji konkursu, dodała przypisek: "Redakcja niezwłocznie zwróciła się do Autora z żądaniem zapłacenia 10 złotych kary".

Wśród autorów powiedzonek służących do zapamiętania jest wiele bardzo sławnych osób. Obok Brentano można wymienić na przykład znakomitego polskiego uczonego, długoletniego prezesa Polskiej Akademii Nauk, Janusza Groszkowskiego (1898-1984), oraz wybitnego astronoma i fizyka, sir Jamesa Jeansa (1877-1946). Właśnie Jeans sformułował jedno z najbardziej znanych mnemotechnicznych zdań:



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19


©operacji.org 2017
wyślij wiadomość

    Strona główna